【正文】 2）繩長 軌跡上任意點到兩定點距離和確定 奎屯王新敞 新疆 思考：在同樣的繩長下，兩定 點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（ ? 線段） 奎屯王新敞 新疆 在同樣的繩長下，兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（ ? 圓） 奎屯王新敞 新疆由此，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(guān) (為下面離心率概念作鋪墊 ) 奎屯王新敞 新疆 ： 取過焦點 21,FF 的直線為 x 軸，線段 21FF 的垂直平分線為 y 軸 奎屯王新敞 新疆設(shè) ),( yxP 為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是 c2 （ 0?c ） .則 )0,(),0,( 21 cFcF ? ，又設(shè) M 與 21,FF 距離之和等于a2 ( ca 22 ? )（常數(shù)） ? ?aPFPFPP 221 ???? 221 )( ycxPF ????又 ， aycxycx 2)()( 2222 ??????? ， 化簡，得 )()( 22222222 caayaxca ???? ， 由定義 ca 22 ? , 022 ??? ca 令 222 bca ??? 代入，得 222222 bayaxb ?? ， 兩邊同除 22ba 得 12222 ??byax ，此即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 奎屯王新敞 新疆它所表示的橢圓的焦點在 x 軸上，焦點是 )0,()0,( 21 cFcF ? ，中心在坐標(biāo)原點的橢圓方程 奎屯王新敞 新疆 其中 222 bca ?? 奎屯王新敞 新疆 注意若坐標(biāo)系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程 奎屯王新敞 新疆 如果橢圓的焦點在 y 軸上（選取方式不同，調(diào)換 yx, 軸）焦點則變成 ),0(),0( 21 cFcF ? ,只要將方程 12222 ??byax 中的 yx, 調(diào) 換，即可得 12222 ??bxay ，也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 奎屯王新敞 新疆 理解： 所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點在坐標(biāo)軸上，且兩焦點的中點為坐標(biāo)原點；在 12222 ??byax 與 12222 ??bxay 這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有 0??ba 的要求，如方程PF 2F 1 xOyP F 2F 1xOy ),0,0(122 nmnmnymx ????? 就不能肯定焦點在哪個軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式 1??byax類比，如 12222 ??byax 中，由于 ba? ，所以在 x 軸上的“截距”更大，因而焦點在 x 軸上 (即看 22,yx 分母的大小 ) 奎屯王新敞 新疆 （三）、探析例題： 例 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ⑴兩個焦點坐標(biāo)分別是 (4,0)、（ 4， 0），橢圓上一點 P 到兩焦點的距離之和等于 10；⑵兩個焦點坐標(biāo)分別是（ 0，－ 2）和（ 0,2）且過（ 23? ,25 ） 奎屯王新敞 新疆 解：（ 1）因為橢圓的焦點在 x 軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 12222 ??byax )0( ??ba 9454,582,10222222 ???????????cabcaca? 所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1925 22 ?? yx 奎屯王新敞新疆 因為橢圓的焦點在 y 軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 12222 ??bxay )0( ??ba 由 橢 圓 的 定 義 知 ， 22 )225()23(2 ????a＋22 )225()23( ??? 10211023 ?? 102? 10??a 又 2?c 6410222 ?????? cab 所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為 1610 22 ??xy 奎屯王新敞 新疆 另法：∵ 42222 ???? acab ∴可設(shè)所求方程 142222 ??? a xay ，后將點 （ 23? ,25 ） 的坐標(biāo)代入可求出 a ，從而求出橢圓方程 奎屯王新敞 新疆 點評：題（１）根據(jù)定義求 奎屯王新敞 新疆 若將焦點改為 (0,4)、（ 0， 4）其結(jié)果如何； 題（２）由學(xué)生的思考與練習(xí)，總結(jié)有兩種求法：其一由定義求出長軸與短軸長，根據(jù)條件寫出方程；其二是由已知焦距，求出長軸與短軸的關(guān)系，設(shè)出橢圓方程，由點在 橢圓上的條件，用待定系數(shù)的辦法得出方程 奎屯王新敞 新疆 （四）、課堂練習(xí) ： 1 奎屯王新敞 新疆 橢圓 1925 22 ?? yx上一點 P到一個焦點的距離為 5，則 P到另一個焦點的距離為（ ） 116925 22 ?? yx 的焦點坐標(biāo)是（ ） A.(177。 12， 0) 18222 ??myx ，焦點在 x 軸上，則其焦距為（ ） 28 m? m?22 82?m D. 222 ?m 4. 1,6 ?? ca ,焦點在 y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 奎屯王新敞 新疆 1)42sin (322 ??? ??yx 表示橢圓，則 ? 的取值范圍是（ ） . 838 ??? ??? Ｂ . kkk (838 ????? ???? ∈ Ｚ ） Ｃ . 838 ??? ??? Ｄ . kkk (83282 ????? ???? ∈ Ｚ ） 參考答案： 4. 13536 22 ??xy 5. Ｂ 奎屯王新敞 新疆 （五）、小結(jié) ： 本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 ,應(yīng)注意 以下幾點 : ①橢圓的定義中 , 022 ?? ca ； ②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 ,焦點的位置看 x ,y 的分母大小來確定； ③ a 、 b 、 c的幾何意義 奎屯王新敞 新疆 （六）、課后作業(yè) ： 1．判斷下列方程是否表上橢圓，若是，求出 cba , 的值 奎屯王新敞 新疆 ① 122 22 ?? yx ；② 124 22 ?? yx ；③ 124 22 ?? yx ；④ 3694 22 ?? xy 奎屯王新敞 新疆 答案：①表示園；②是橢圓 2,2,2 ??? cba ；③不是橢圓（是雙曲線）；④ 3694 22 ?? xy 可以表示為 132 2222 ?? yx ，是橢圓， 5,2,3 ??? cba 奎屯王新敞 新疆 2 奎屯王新敞 新疆 橢圓 1916 22 ?? yx的 焦距是 ，焦點坐標(biāo)為 ；若 CD為過左焦點 1F 的弦，則 CDF2? 的周長為 奎屯王新敞 新疆 答案： 164)。 （ 2）過程與方法： 利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學(xué)習(xí)解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結(jié)果的掌握和應(yīng)用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。 三、教學(xué)方法： 探究式教學(xué)法， 即教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力． 四、 教學(xué)過程 （ 一 ） 、復(fù)習(xí)與引入過程 ： 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點， 在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標(biāo)及長軸、短軸的概念；④通過 P48的思考問題， 探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗167。 例 橢圓 136100 22 ?? yx 上有一點 P，它到橢圓的左準(zhǔn)線距離為 10，求點 P到橢圓的右焦點的距離 奎屯王新敞 新疆 解析：利用 橢圓定義 。 解析：（ 1）不妨設(shè)橢圓方程為221xyab??（ a?b?0），則有222 21ba cac? ? ?且，據(jù)此求出 e＝ 22 ，選 B。 情感、態(tài)度與價值觀： 通過拋物線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、嚴(yán)密細(xì)致的科學(xué)態(tài)度，通過提問、討論、思考等教學(xué)活動，調(diào)動學(xué)生積極參與教學(xué)，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。依據(jù)建構(gòu)主義教學(xué)原理，通 過類比、歸納把新知識化歸到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去（二次函數(shù)與拋物線方程的對比，移圖與建立適當(dāng)建立坐標(biāo)系的方法的歸納）。 6， 9） 奎屯王新敞 新疆 點評：練習(xí)時注意（ 1）由焦點位置或準(zhǔn)線方程正確判斷拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；（ 2） p 表示焦點到準(zhǔn)線的距離故 p＞ 0；（ 3）根據(jù)圖形判斷解有幾種 可能 奎屯王新敞 新疆 （ 五 ） 、小結(jié) ： 小結(jié)拋物線的定義、焦點、準(zhǔn)線及其方程的概念 。 三、 授課類型： 新授課 奎屯王新敞 新疆 四、 教學(xué)過程 （ 一 ） 、復(fù)習(xí)引入 ： 1．拋物線定義： 平面內(nèi)與一個定點 F和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 奎屯王新敞 新疆 定點 F 叫做拋物線的焦點，定直線 l 叫做拋物線的準(zhǔn)線 奎屯王新敞 新疆 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 奎屯王新敞 新疆 相同點： (1)拋物線都過原點； (2)對稱軸為坐標(biāo)軸； (3)準(zhǔn)線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關(guān)于原點對稱 奎屯王新敞 新疆 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的 41 ，即242 pp?奎屯王新敞 新疆 不同點： (1)圖形關(guān)于 X軸對稱時， X為一次項， Y為 二次項，方程右端為 px2? 、左端為 2y ；圖形關(guān)于 Y軸對稱時， X為二次項， Y為一次項，方程右端為 py2? ，左端為 2x 奎屯王新敞 新疆 （ 2）開口方向在 X軸（或 Y軸）正向時，焦點在 X軸（或 Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在 X軸（或 Y軸）負(fù)向時，焦點在 X軸（或 Y軸）負(fù)半軸時，方程右端取負(fù)號 奎屯王新敞 新疆 （ 二 ） 、講解新課： 拋物線的幾何性質(zhì) 1．范圍 ： 因為 p＞ 0，由方程 ? ?022 ?? ppxy 可知，這條拋物線上的點 M的坐標(biāo) (x， y)滿足不等式 x≥0 ，所以這條拋物線在 y軸的右側(cè)；當(dāng) x的值增大時， |y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸． 圖形 xyO Fl xyOFl 方程 )0(22 ?? ppxy )0(22 ??? ppxy )0(22 ?? ppyx )0(22 ??? ppyx 焦點 )0,2(p )0,2( p? )2,0( p )2,0( p? 準(zhǔn)線 2px ?? 2px? 2py ?? 2py? xyOFlxyOFl 2．對稱性 ： 以－ y代 y，方程 ? ?022 ?? ppxy 不變，所以這條拋物線關(guān)于 x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸． 3．頂點 ： 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程 ? ?022 ?? ppxy 中，當(dāng) y=0時， x=0，因此拋物線 ? ?022 ?? ppxy 的頂點就是坐標(biāo)原點． 對于其它幾種形式的方程，列表如下： 標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形 頂點 對稱軸 焦點 準(zhǔn)線 離心率 ? ?022??p pxy xyO Fl ? ?0,0 x 軸 ?????? 0,2p 2px ?? 1?e ? ?022???p pxy xyOFl ? ?0,0 x 軸 ??????? 0,2p 2px? 1?e ? ?022??p pyx ? ?0,0 y 軸 ?????? 2,0p 2py ?? 1?e ? ?022 ???p pyx ? ?0,0 y 軸 ?????? ?2,0 p 2py? 1?e 注意強調(diào) p 的幾何意義： 是焦點到準(zhǔn)線的距離 （ 三 ） 、 探析例題 ： 例 1 已知拋物線關(guān)于 x 軸為對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點 )22,2( ?M ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點法畫出圖形．分析：首先由已知點坐標(biāo)代入方程，求參數(shù) p． 解：由題意，可設(shè)拋物線方程為 pxy 22 ? ，因為它過點 )22,2( ?M ， 所以 22)22( 2 ??? p，即 2?p 。3． x2＝177。（投影） 概念中幾個關(guān)鍵詞：“平面內(nèi)”、“距離的差的絕對值”、“常數(shù)小于 21FF ” 奎屯王新敞 新疆 ： 現(xiàn)在我們可以用類似求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，請學(xué)生思考、回憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（教師使用多媒體演示） （ 1）建系 ： 取過焦點 F F2的直線為 x軸，線段 F1F2的垂直平分 線為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系。 2． 1．例 3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？ 探究方法：若設(shè)點 ? ?,Mxy ，則直線 AM ， BM 的斜率就可以用含 ,xy的式子表示，由于直線 AM ， BM 的斜率之積是 49 ，因此，可以求出 ,xy之間的關(guān)系式，即得到點 M 的軌跡方程． （四）、課堂小結(jié) :雙曲線的兩類標(biāo)準(zhǔn)方程是 )0,0(12222 ???? bab