【正文】 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法 頻域給出指標(biāo) 給出理想濾波器的頻率響應(yīng) jd ( e )H ?設(shè)計(jì) FIR濾波器，求其頻率響應(yīng) ? ?1j j0( e ) eNnnH h n????? ?逼近 設(shè)計(jì)在時(shí)域進(jìn)行 ? ?1D TF Tjdd( e )H h n? ?????hd(n)無限長，非因果 設(shè)計(jì) h(n) ，有限長，因果 ? ? ? ? ? ?dh n h n w n??逼近 設(shè)計(jì)方法（以低通濾波器設(shè)計(jì)為例） ()0jcjdceHe??? ??? ? ??? ??? ?????c?()jdHe?c?? ?理想低通濾波器的頻響 1 0 0 為群延時(shí) ?()? ? ? ????()1()2s i n ( )12 ( )ccccj j ndcjn cch n e e dnedn?? ? ????????????? ? ? ????????????????單位抽樣響應(yīng) 相位 ()? ? ? ???n ??hd(n)偶對稱，對稱中心 hd(n)無限長的非因果序列 設(shè)計(jì)可 實(shí)現(xiàn) FIR濾波器的單位 脈沖響應(yīng) ( ) ( ) ( )dh n h n w n?窗函數(shù) 先選取最簡單的窗函數(shù) 1 , 0 1( ) ( )0,RNnNw n R n? ? ???? ?? 其 它( ) 0 1( ) ( ) ( )0ddh n n Nh n h n w nn? ? ???? ?? 其 它12N? ??按第一類線性相位條件，得 ? ?1si n201 120cccNnnNhn Nnn????? ?? ????? ?????????? ? ???? ????????????? 其 它11()201()2s i n2()s i n / 2()NNjj j nRnNjRNW e e eWe?????????????????? 加窗處理對頻譜性能的影響 理想低通濾波器的頻響 1()2dd( ) ( )NjjH e H e ?? ????d1,()0,ccH???? ? ?? ??? ?????矩形窗的頻響 主瓣寬度 4N????( ) ( ) ( )dh n h n w n? d( ) ( ) * ( )j j jRH e H e W e? ? ??()d11( ) ( ) ( )22d1()2d1()21( ) ( ) ( )21( ) ( )21( ) ( )21()2ccj j jRNNjjRNjRNjRH e H e W e dH e W e de H W de W d?? ? ? ??? ? ? ??????????? ? ? ??? ? ? ??? ? ??????? ? ???????????? ? ?? ? ?????線性相位 幅度函數(shù) 窗函數(shù)的頻率特性WR(ejω) 決定了 H(ejω)對 Hd(ejω)的逼近程度。 ? N為偶數(shù)時(shí)， 對 呈偶對稱。 ? ? ? ?x n h n?FIR數(shù)字濾波器的缺點(diǎn) 1）不能用模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，無解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)； 2）由于沒有極點(diǎn)，同樣幅頻特性，要獲得較好的過渡帶特性，需較高的階數(shù)做為代價(jià)。 FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法 設(shè)計(jì)方法： 窗函數(shù)法 頻率采樣法 切比雪夫等波紋逼近法 設(shè)計(jì)任務(wù)： 選擇有限長度的脈沖響應(yīng) h(n)，得到系統(tǒng)函數(shù) H(z)，使幅頻特性滿足技術(shù)指標(biāo)，同時(shí)使相頻特性達(dá)到線性相位。 π奇 奇對稱： ? N為奇數(shù)時(shí)， 對 呈奇對稱。 幅度函數(shù) 1( ) ( )2ccRH W d??? ? ? ??????d ( ) * ( )RHW???相位函數(shù) 1()2N? ? ??????????一般情況 2c N?? ?c??? ( ) / ( 0 ) 0 . 5cHH? ?正肩峰 2/c N? ? ???2/c N? ? ???負(fù)肩峰 2/c N??? 2/c N???0? ?1( 0 ) ( )2 RH W d??????? ?加窗函數(shù)的影響： ① 形成過渡帶 Hd(ejω)在截止頻率處有陡峭的邊沿 H(ω)在截止頻率處連續(xù)曲線 邊沿加寬 ，形成過渡帶 窗頻譜的主瓣越寬 ， 過渡帶也越寬 。 2N?肩峰值的大小，直接影響通帶特性和阻帶衰減。 （ 3）過度帶寬 ，窗函數(shù)設(shè)計(jì)得到 FIR濾波器的過度帶寬，即通帶截止頻率與阻帶截止頻率之差。 8N?主瓣寬度寬： 旁瓣幅度小 31 d Bn? ?? 8/ N???? 6. 2 /BN??? 44 d Bst? ?4. 漢明 (Hamming)窗 ——改進(jìn)的升余弦窗 2( ) [ c os( ) ] ( )1 Nnw n R nN????幅度函數(shù) 主瓣寬度寬： 8N?旁瓣幅度更小 121222( ) ( ) 11()NjjR R RNjW e W W W eNNWe?????? ? ???????? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ??????22( ) ( ) 11R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ???41 d Bn? ?? 8/ N???? 6. 6 /BN??? 53 d Bst? ?5. 布萊克曼 (Blackman)窗 在升余弦窗的定義式中再加上一個(gè)二次諧波的余弦分量得到的 ， 故又稱二階升余弦窗 。反之，給定指標(biāo)，凱塞窗可以使濾波器的階數(shù)最小。)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。 當(dāng) β = ，窗函數(shù)接近哈明窗 。 (3) 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng) h(n)， h(n) =hd(n)w(n) (4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求 。但由于漢明窗的主瓣最窄，因而我們選擇漢明窗，其表達(dá)式為 2( ) c os ( )1 Nnw n R nN??? ???????? ?????由過渡帶寬確定窗的長度 N。 si n [ ( 10 ) ]()( 10 )dnhnn?????解： 若選擇矩形窗函數(shù)，則有 21si n [ ( 10 ) ]( ) ( ) ( ) ( )( 10 )dnh n h n w n R nn??????若選擇漢寧窗函數(shù)，則有 21si n [ ( 10 ) ] 2( ) ( ) ( ) 1 c os ( )( 10 ) 1dnnh n h n w n R nnN?????? ??? ? ? ??????? ????矩形窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器幅度特性 ； 漢寧窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器幅度特性 例 利用凱塞窗設(shè)計(jì)一個(gè) FIR低通濾波器，要求：通帶截止頻率 ωp=，阻帶截止頻率ωst=，阻帶最小衰減 δst≥60dB。 203802( 3 1 ( 1 ) )si n [ ( ) ] 37( ) ( )( ) ( 3 )nInh n R nnI????????0 10 20 30 0 . 200 . 20 . 40 . 6nh(n)單位抽樣響應(yīng)0 0 . 4 0 . 5 0 . 6 1 8 0 6 060? / ?dB幅度頻率響應(yīng)例 2 設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位 FIR低通濾波器， 給定抽樣頻率為 通帶截止頻率為 阻帶起始頻率為 阻帶衰減不小于 50dB。 解： , 0 ()0, jjdeHe???? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ????????、si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ], 15( 15 ) ( 15 ) ( 15 )(), 15dn n nnn n nhnn? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ?? ?? ??所設(shè)計(jì)帶阻濾波器的單位抽樣響應(yīng)為 31si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ] si n [ ( 15 ) ]( ) ( )( 15 ) ( 15 ) ( 15 )n n nh n R nn n n? ? ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ??? 頻率抽樣設(shè)計(jì)法 頻率抽樣設(shè)計(jì)法則是在頻域內(nèi)，以有限個(gè)頻率響應(yīng)抽樣，去近似所希望的理想頻率響應(yīng) Hd(ejω)的設(shè)計(jì)方法。 抽樣點(diǎn)上，頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等 抽樣點(diǎn)之間，加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加 變化越平緩，內(nèi)插越接近理想值，逼近誤差較小 H(k)滿足的條件 關(guān)于線性相位 FIR濾波器的時(shí)域、頻域特性，我們已經(jīng)將其歸納于表 。 解：以理想低通濾波器作為希望逼近的濾波器，則頻率響應(yīng)函數(shù)為 ???????????????????????,0,)()( 2121NjNjdjdeeHeH（ 1）對 Hd(ejω) 進(jìn)行抽樣。 ????140)(151)]([)(kknNWkHkHIDFTnh 14,1,0 ??n14702( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( )15jjkH e F T h n H e H k k?? ?? ? ???? ? ? ??????? 7)2/si n()2/15si n(151)( je ??當(dāng) N=65時(shí)，幅度響應(yīng)如圖 ，為了便于比較，與 N=15的曲線繪制在一起。 2．逼近誤差產(chǎn)生的原因 (頻域和時(shí)域） 頻域：從式（ ）可以看出， H(ejω)在各頻率抽樣點(diǎn)上等于本抽樣點(diǎn)出的 H(k)，但是在抽樣點(diǎn)之間則由各抽樣值 H(k)乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。同時(shí)，頻域抽樣點(diǎn)數(shù) N越大， h(n)越接近于 hd(n)。增加 N，使抽樣點(diǎn)變密，減小過渡帶寬度，但增加了計(jì)算量 優(yōu)點(diǎn)：頻域直接設(shè)計(jì) 缺點(diǎn)：抽樣頻率只能是 或 的整數(shù)倍， 截止頻率 ωc不能任意取值。依據(jù)給定的過渡帶寬 ΔB，利用式（ ）來確定。首先確定在通帶內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù) kc +1（ ω =0~ π） 。 ? ????10)(1)]([)(NkknNWkHNkHIDF Tnh 1,1,0 ?? Nn ?例 運(yùn)用頻率抽樣法設(shè)計(jì)一個(gè) FIR低通數(shù)字濾波器，要求截止頻率 ωc =，阻帶最小衰減 δst ≥40 dB，過渡帶寬 ΔB ≤ ，所設(shè)計(jì)的濾波器應(yīng)具有第一類線性相位。所以從 ω =0開始對 Hd(ω)在 ω =0~2π內(nèi)抽樣 41點(diǎn)，得到幅度抽樣 A(k) 在 A(k)原為零的 k= 32處加入值為 樣點(diǎn)，即 A(9)=A(32)=，則 ??????32,10,9,040,34,33,8,1,0,1)(???kkkA?????????31,11,10,032,9,40,34,33,8,1,0,1)(???kkkkA又依據(jù)式 ()得到相位抽樣 φ(k)為 由此得到頻率抽樣 ??? kkNk 4140)