高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第2章圓錐曲線與方程31-wenkub
2022-11-28 23:19:21 本頁(yè)面
【正文】 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也有 “ 定型 ” 和 “ 定量 ” 兩個(gè)方面的功能： ① 定型：以 x2和y2的系數(shù)的正負(fù)來(lái)確定； ② 定量：以 a、 b的大小來(lái)確定 . 跟蹤演練 2 方程 ax2 ＋ by2 ＝ b(ab0) 表 示 的 曲線 是____________________. 解析 原方程可化為x2ba＋ y2＝ 1 ， ∵ ab 0 ， ∴ba 0 ，知曲線是焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線 . 焦點(diǎn)在 y軸上的雙曲線 要點(diǎn)三 與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題 例 3 如圖 ， 在 △ABC中 ， 已知 AB＝ ， 且三內(nèi) 角 A， B， C滿足 2sin A＋ sin C＝ 2sin B， 建立適 當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 ， 求頂點(diǎn) C的軌跡方程 . 解 以 AB邊所在的直線為 x軸 ， AB的垂直平 分線為 y軸 ， 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示 ， 4 2 則 A ( － 2 2 ， 0) ， B (2 2 ， 0) . 由正弦定理，得 si n A ＝a2 R， si n B ＝b2 R， si n C ＝c2 R( R 為 △ ABC的外接圓半徑 ) . ∵ 2si n A ＋ si n C ＝ 2si n B ， ∴ 2 a ＋ c ＝ 2 b ，即 b － a ＝ c2 ， 從 而有 CA － CB ＝ 12 AB ＝ 2 2 AB . 由雙曲線的定義知 ， 點(diǎn) C的軌跡為雙曲線的右支 (除去不 x軸的交點(diǎn) ). ∵ a ＝ 2 ， c ＝ 2 2 ， ∴ b 2 ＝ c 2 － a 2 ＝ 6 ， 即所求軌跡方程為x 22 －y 26 ＝ 1( x 2 ) . 規(guī)律方法 求解不雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題 ， 常見(jiàn)的方法有兩種： (1)列出等量關(guān)系 ， 化簡(jiǎn)得到方程； (2)尋找?guī)缀侮P(guān)系 ， 由雙曲線的定義 ， 得出對(duì)應(yīng)的方程 . 求解雙曲線的軌跡問(wèn)題時(shí)要特別注意： (1)雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸； (2)檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支 . 跟蹤演練 3 如圖所示 ， 已知定圓 F1： (x＋ 5)2＋ y2＝ 1， 定圓 F2： (x－ 5)2＋ y2＝ 42， 動(dòng)圓 M不定圓 F1， F2都外切 ， 求動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程 . 解 圓 F1： (x＋ 5)2＋ y2＝ 1， 圓心 F1(－ 5,0)， 半徑 r1＝ 1； 圓 F2： (x－ 5)2＋ y2＝ 42， 圓心 F2(5,0)， 半徑 r2＝ 4. 設(shè)動(dòng)圓 M的半徑為 R， 則有 MF1＝ R＋ 1， MF2＝ R＋ 4， ∴ MF2－ MF1＝ 310＝ F1F2. ∴ 點(diǎn) M 的
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