高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第2章圓錐曲線與方程5-wenkub
2022-11-28 23:19:18 本頁面
【正文】 解 設(shè) d為 M到右準(zhǔn)線的距離 . ∵ e ＝ca ＝12 ，MFd ＝12 ， ∴ MF12＝ d ，即 d ＝ 2 MF ( 如圖 ) . 故 MP＋ 2MF＝ MP＋ MM′ . 顯然 ， 當(dāng) P、 M、 M′ 三點(diǎn)共線時 ， 所求的值為最小，從而求得點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 23 15 ，－ 1) . 規(guī)律方法 本例中 ， 利用統(tǒng)一定義 ， 將橢圓上點(diǎn) M到焦點(diǎn)F的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離 ， 再利用圖形的形象直觀 ，使問題得到簡捷的解決 . 跟蹤演練 2 已知雙曲線x29－y216＝ 1 的右焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) A (9,2) ，試在雙曲線上求一點(diǎn) M ，使 MA ＋35MF 的值最小，并求這個最小值 . 解 過 M作 MN垂直于雙曲線的右準(zhǔn)線 l于 N， 由第二定義可知 MN ＝ MF e ( 如圖 ) . 又 a ＝ 3 ， b ＝ 4 ， c ＝ 5 ， e ＝53 ， ∴ MN ＝35 MF ， ∴ MA ＋35 MF ＝ MA ＋ MN ， 顯然當(dāng) M、 N、 A三點(diǎn)共線時 MA＋ MN＝ AN為最小 ， 即 MA ＋ 35 MF 取得最小值， 此時 AN ＝ 9 －a 2c ＝ 9 －95 ＝365 ， ∴ MA ＋35 MF 的最小值為365 ，此時點(diǎn) M (3 52 ， 2) . 要點(diǎn)三 圓錐曲線統(tǒng)一定義的綜合應(yīng)用 例 3 已知 A 、 B 是橢圓x2a2 ＋y2925a2＝ 1 上的點(diǎn)， F 2 是右焦點(diǎn)，且 AF 2 ＋ BF 2 ＝85a ， AB 的中點(diǎn) N 到左準(zhǔn)線的距離等于32，求此橢圓方程 . 解 設(shè) F1為左焦點(diǎn) ， 則根據(jù)橢圓定義有： AF1＋ BF1＝ 2a－ AF2＋ 2a－ BF2 ＝ 4 a － ( AF 2 ＋ BF 2 ) ＝ 4 a － 85 a ＝125 a . 再設(shè) A、 B、 N三點(diǎn)到左準(zhǔn)線距離分別為 d1， d2， d3， 由梯形中位線定理有 d 1 ＋ d 2 ＝ 2 d 3 ＝ 3 ，而已知 b 2 ＝ 925 a2 ， ∴ c 2 ＝1625 a2 ， ∴ 離心率 e
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