【正文】 ? 投資策略： ⅰ 在紐約的銀行存 1美元，一年以后得到 元 ⅱ 將 1美元換成 RMB , 存入中國(guó)的銀行可以獲得 : = RMB 用遠(yuǎn)期匯率換成美元，可獲得： $ ? 策略 ⅱ 可獲得有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利潤(rùn) ? 期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)就是無(wú)套利原理 ? 構(gòu)建一種資產(chǎn)組合，其未來(lái)的現(xiàn)金流支付等于期權(quán)的支付，那么期權(quán)的價(jià)格就應(yīng)該等于該資產(chǎn)組合的價(jià)格 二叉樹定價(jià)模型： ? A stock price is currently $20 ? In three months it will be either $22 or $18 18 Stock Price = $22 Stock Price = $18 Stock price = $20 A 3month call option on the stock has a strike price of 21. 19 Stock Price = $22 Option Price = $1 Stock Price = $18 Option Price = $0 Stock price = $20 Option Price=? 構(gòu)建無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合 ? Consider the Portfolio: long D shares short 1 call option Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 20 22 D – 1 18D D股股票－ 1份期權(quán) =無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券 → 1份期權(quán) = D股股票 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券 單期二叉樹期權(quán)定價(jià)模型 ? 考慮一個(gè)買權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻 t，下期 t=T到期，中間只有 1期， τ=Tt ? 假設(shè)該買權(quán)的標(biāo)的股票是 1個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。 到期日看跌期權(quán)的價(jià)值 ? ST ＝到期日 T時(shí)，相關(guān)資產(chǎn)或股票的價(jià)值或價(jià)格。 如果 STX，則成為“虛值期權(quán)”。 看漲期權(quán) ? 合約中指定： ——相關(guān)資產(chǎn)、執(zhí)行價(jià)格 (X)、到期日 (T) ●歐式看漲期權(quán)賦予期權(quán)持有人只能在到期日 T、以執(zhí)行價(jià)格 X（從看漲期權(quán)出售方）買入（“看漲”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。 ●美式看漲期權(quán)賦予期權(quán)持有人在到期日 T前或到期日、以執(zhí)行價(jià)格 X（從看漲期權(quán)出售方）買入（“看漲”）相關(guān)資產(chǎn)的權(quán)利（但不是義務(wù)）。 如果 ST=X，則成為“兩平期權(quán)”。 ? PT＝在到期日、執(zhí)行價(jià)格為 X的看跌期權(quán)的價(jià)值是ST的函數(shù) ? 如果 ST X，則成為“實(shí)值期權(quán)”。當(dāng)前股票價(jià)格為 st=S是已知的，到期股票價(jià)格為 sT， 且滿足 21 , 1 , ( ), 1 , ( ) 1uuTTdds s uS S u P s s qs s dS S d P s s q? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?其中， u為上漲因子， d為下跌因子 22 sT=su=uS sT=sd=dS st q 1q 問(wèn)題：如何確定該期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻 t的價(jià)值 ct？ 設(shè)想：構(gòu)造如下投資組合，以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r借入資金 B（相當(dāng)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券空頭），并且在股票市場(chǎng)上購(gòu)入N股股票（股票多頭）。 stock’s expected relative return is 27 ( 1 ) ( 1 )u d r r rsps p s e d e dy u eS u d u d???? ? ? ?? ? ? ? ???0[ ( 1 ) ] /u d rcsy pc p c c e y?? ? ? ? ?Option’s expected relative return is ?So， p is a variable which make riskful stock and call option’s expected return are both only riskless interest rate. ?For the above reason, We call p “risk neutral probability”. Dicussion: Riskneutral probability 2. 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，主觀概率 q沒(méi)有出現(xiàn)。 ? 若在期初構(gòu)造如下組合：以 S的價(jià)格買入 N股股票，同時(shí)以 c的價(jià)格賣出 1個(gè)期權(quán)，則該組合的投資成本為 NS－ c必然等于 B。 ? 基于上述的理由，只要以上述方式構(gòu)建投資組合來(lái)對(duì)期權(quán)定價(jià)，就等價(jià)于假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，既然是風(fēng)險(xiǎn)中性的，則對(duì)這樣的組合定價(jià)就不必考慮風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題。 35 22m a x( 0 , ) m a x( 0 , )m a x( 0 , ) m a x( 0 , ) m a x( 0 , )m a x( 0 , ) m a x( 0 , )uu uuud du uddd ddudc s X u S Xc c sSXSc s XXXXdS? ? ? ?? ? ??? ? ?????2 2 22222[ 2 ( 1 ) ( 1 ) ] [ m a x( 0 , ) 2 ( 1 ) m a x( 0 , ) ( 1 ) m a x( 0 , ) ]uu ud dd rhtrc p c p p c p c ep u S Xp p S Xp d S X e???? ? ? ? ???? ? ?? ? ?當(dāng)前時(shí)刻 t，期權(quán)的價(jià)值為 , the re s S?定價(jià)思路：倒推定價(jià)法 1. 首先得到 2期節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格，從而得到該期的期權(quán)價(jià)格。 36 n階段二叉樹定價(jià)模型 ? 將定價(jià)日 t到到期日 T的時(shí)間進(jìn)一步等分為 n個(gè)階段，每個(gè)階段的長(zhǎng)度為 h 37 Tthnn? ????標(biāo)的資產(chǎn)在到期日的狀態(tài)可能取值為 n＋ 1個(gè) . ?若 n→∞ ，即每個(gè)階段所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度無(wú)窮小，則完全有理由用二叉樹來(lái)近似表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變化過(guò)程。 ? 若有放回地取球 n次，稱之為 n重貝努里試驗(yàn)。n,p)剛好是二項(xiàng)式 40 [ ( 1 ) ] npp?? 的 系 數(shù)00( 。n,p)，則隨機(jī)變量 41 22( 1 )01( 。22l n( / )。 69 Application: American option pricing American option pricing 70 S u S u2 S u3 SSS u S u2 S u4SS d S d3 S d S d2 S d2 S d41h2h3h4h? 以無(wú)收益證券的美式看跌期權(quán)為例。 ? = 40%。 d = 。 76 StockPrice = Columns 1 through 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 0 78 OptionPrice = Columns 1 through 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 0 0 0 0 0 0 Key conclusions ? 二叉樹模型的基本依據(jù)：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。 , March 15, 2023 ? 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 :33:0109:33:01March 15, 2023 ? 1他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國(guó)見(jiàn)青山。 2023年 3月 15日星期三 9時(shí) 33分 1秒 09:33:0115 March 2023 ? 1做前，能夠環(huán)視四周；做時(shí)，你只能或者最好沿著以腳為起點(diǎn)的射線向前。 :33:0109:33Mar2315Mar23 ? 1世間成事，不求其絕對(duì)圓滿，留一份不足，可得無(wú)限完美。 。 , March 15, 2023 ? 閱讀一切好書如同和過(guò)去最杰出的人談話。勝人者有力，自勝者強(qiáng)。 2023年 3月 15日星期三 9時(shí) 33分 1秒 09:33:0115 March 2023 ? 1一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。 2023年 3月 15日星期三 上午 9時(shí) 33分 1秒 09:33: ? 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過(guò)于提升自我。 :33:0109:33