【正文】 和 b 求偏導(dǎo)數(shù)并令其為 0，可得正規(guī)方程組 （ normal equations） ： 得 ? 最小為)()( 2121bxayyyQnn???????????????????xyxbxayxban2xbya ??(9③ 圖 X 和 Y 的關(guān)系是非直線型的；大約在 x≤(6 — 7)時， Y 隨 X 的增大而增大，而當 x＞ (6— 7)時， Y 隨 X 的增大而減小。 ? 根據(jù)散點圖可初步判定雙變數(shù) X 和 Y 間的關(guān)系，包括：① X 和 Y 相關(guān)的性質(zhì) (正或負 )和密切程度； ② X 和 Y 的關(guān)系是直線型的還是非直線型的； ③是否有一些特殊的點表示著其他因素的干擾等。 ? 這個統(tǒng)計數(shù)在兩個變數(shù)為直線相關(guān)時稱為相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)，記為 r；在多元相關(guān)時稱為復(fù)相關(guān)系數(shù) (multiple correlation)，記作Ry ? 回歸分析 ：計算回歸方程為基礎(chǔ)的統(tǒng)計分析方法。 ? 統(tǒng)計關(guān)系 是一種非確定性的關(guān)系。第九章 直線回歸和相關(guān) ? 第一節(jié) 回歸和相關(guān)的概念 ? 第二節(jié) 直線回歸 ? 第三節(jié) 直線相關(guān) ? 第四節(jié) 直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系 和應(yīng)用要點 ? 第五節(jié) 協(xié)方差分析 ? 引言 這一章研究的對象： ? 由 一個變數(shù) 兩個或多個變數(shù) ，因為在實際生產(chǎn)實踐和科學實驗中所要研究的變數(shù)往往不止一個，例如： ? 研究溫度高低和作物發(fā)育進度快慢的關(guān)系，就有溫度和發(fā)育進度兩個變數(shù)； ? 研究每畝穗數(shù)、每穗粒數(shù)和每畝產(chǎn)量的關(guān)系，就有穗數(shù)、粒數(shù)和產(chǎn)量三個變數(shù)。例如，作物的產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系，兩類變數(shù)受誤差的干擾表現(xiàn)為統(tǒng)計關(guān)系。 為 Y 依 X 的回歸方程 (regression equation of Y on X )。12… m ；在兩個變數(shù)曲線相關(guān)時稱為相關(guān)指數(shù)(correlation index)，記作 R。 ? 例如圖 3幅散點圖，圖 的生物產(chǎn)量 (X )和稻谷產(chǎn)量 (Y )，圖 米土地上的總穎花數(shù) (X )和結(jié)實率 (Y )，圖 最高葉面積指數(shù) (X )和每畝稻谷產(chǎn)量 (Y )。 x，生物產(chǎn)量 (g) 水稻單株生物產(chǎn)量與稻谷產(chǎn)量的散點圖 x，每 m2穎花數(shù) (萬 ) 水稻每 m2穎花數(shù)和結(jié)實率的散點圖 x，最高葉面積指數(shù) 水稻最高葉面積指數(shù)和畝產(chǎn)量的散點圖 第二節(jié) 直線回歸 ? 一、直線回歸方程 ? 二、直線回歸的假設(shè)測驗和區(qū)間估計 ? 三、直線回歸的矩陣求解 一、直線回歸方程 (一 )直線回歸方程式 (92) xSSSPxxyyxxxnxyxnxyb ???????????????22 )())(()(112)(? xxbybxxbyy ?????? )((91)可得： y ① ② ③ ① a0,b0 ② a0,b0 ③ a0,b0 x 直線回歸方程的圖象 ? 由 (9度 )和水稻一代三化螟盛發(fā)期(y， 以 5月 10日為 0)的關(guān)系 ， 得結(jié)果于表 。度時，一代三化螟的盛發(fā)期平均將提早 ；若積溫為 0，則一代三化螟的盛發(fā)期將在 6月 27— 28日 (x=0時， =；因 y是以 5月 10日為 0，故 6月 27— 28日）。 ? 方法：制作直線回歸圖時，首先以 x為橫坐標，以 y為縱坐標構(gòu)建直角坐標系 (縱、橫坐標皆需標明名稱和單位 )；然后取 x坐標上的一個小值 x1代入回歸方程得 ，取一個大值 x2代入回歸方程得 ，連接坐標點 (x1， )和 (x2， )即成一條回歸直線。最后，將實測的各對 (xi， yi)數(shù)值也用坐標點標于圖 。因為回歸直線是綜合 9年結(jié)果而得出的一般趨勢，所以其代表性比任何一個實際的坐標點都好。5) (96D) ? (五 )直線回歸的數(shù)學模型和基本假定 ? 直線回歸模型中， Y 總體的每一個值由以下三部分組成： ①回歸截距 ， ②回歸系數(shù) ， ③ Y變數(shù)的隨機誤差 。8) ? 回歸分析時的假定 ： ? (1) Y 變數(shù)是隨機變數(shù)，而 X 變數(shù)則是沒有誤差的固定變數(shù)，至少和 Y 變數(shù)比較起來 X 的誤差小到可以忽略。 ? (3) 所有的 Y 總體都具有共同的方差 ，而直線回歸總體具有 。10) ? 遵循 的 t分布，故由 t 值即可知道樣本回歸系數(shù) b來自 =0總體的概率大小 ? （ 2） F 測驗當僅以表示 y資料時（不考慮 x 的影響），y變數(shù)具有平方和 SSy 和自由度 當以表示y資料時 (考慮 x的影響 )，則 SSy將分解成兩個部分，即： bsbt ???22 )??()( yyyyyy ???????)?)(?()?()?( yyyyyyyy ?????????? 222(9 表 玉米葉片長寬乘積和葉面積關(guān)系的計算結(jié)果 由表 : 品 種 n SSx SSy SP b Q 七葉白 22 1351824 658513 942483 1420 石榴子 18 1070822 516863 743652 420 )(182)(22 42022202 ???? ??xys / ? 這一結(jié)果是完全不顯著的，所以應(yīng)接受 H0： 即認為葉片長寬乘積每增大 1cm2，葉面積平均要增大的單位數(shù)在七葉白和石榴子兩品種上是一致的，其共同值為 : 921070 822 11351 824 121???? bbs 944 971 8 ???t21 ?? ?2121xx SSSSSPSPb??? 0 . 6 9 5 9 8????10708221351824743652942483 22( c m /c m )? （二）直線回歸的區(qū)間估計 1．直線回歸的抽樣誤差 ? 在直線回歸總體 中抽取若干個樣本時，由于 ，各樣本的 a、 b 值都有誤差。2)，樣本回歸截距 a ， 而 和 b的誤差方差分別為： 。18) 3．回歸系數(shù)的置信區(qū)間 由 (919) ? 5．條件總體觀察值 Y 的預(yù)測區(qū)間 將 (923) 6．置信區(qū)間和預(yù)測區(qū)間的圖示 ? 首先取若干個等距的 x 值 (x 取值愈密，作圖愈準確），算得與其相應(yīng)的 、 、 和 、 的值；然后再由 和 算得各 x上的 L1和 L2，并標于圖上；最后將各個 L1和 L2分別連成曲線即可。 和 ? 所夾的區(qū)間即包括 ? 在內(nèi)有 95％可靠度的置信區(qū)間。 ? (一 ) 直線回歸方程的矩陣解法 ? 一個直線回歸的樣本線性方程 (924) ? X為系數(shù)矩陣或結(jié)構(gòu)矩陣。26)中的 b成為回歸統(tǒng)計數(shù)，必須滿足 為最小 。 ? (二 ) 直線回歸假設(shè)測驗的矩陣解法 ? 用矩陣方法可以求得 b向量的方差為： YXXbX ???)()( 1 YXXX ?? ?1)( ?? XX XX ? 1)( ?? XX ? 因而 b的顯著性測驗可表示為 ： ? 這一 t 值的自由度為 。29) ? 在計算 (932） 中的 1為由 n個 1組成的列向量： 111 1????????????????n? 1第三節(jié) 直線相關(guān) ? 一、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù) ? 二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)測驗 一、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù) ? （一）相關(guān)系數(shù) ? (X， Y )總體沒有相關(guān)，則落在象限 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅳ 的點是均勻分散的，因而正負相消， = 0。但是， X 和 Y 的變異程度、所取單位及 N的大小都會影響其大小。33） ? (934) ? 因為： 在回歸分析時分成了兩個部分：一部分是離回歸平方和 Q ，另一部分是回歸平方和 U =(SP)2/SSx。正的 r 值表示正相關(guān)，負的 r 值表示負相關(guān)。 ? 決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的 區(qū)別 在于： ① 除掉 |r |=1和 0的情況外， r2總是小于 |r |。因此，在相關(guān)分析由 r 的正或負表示相關(guān)的性質(zhì)，由 r2 的大小表示相關(guān)的程度。36) ? 當 時： ? 或 (937)移項，即可得到自由度和顯著水平一定時的臨界 r 值： 0?? rsrt ?21 rnr??? 22?? n?0?? ? (二 ) 的假設(shè)測驗 ? 測驗一個實得的相關(guān)系數(shù) r與某一指定的或理論的相關(guān)系數(shù) C是否有顯著差異，其統(tǒng)計假設(shè)為 H0： 對 HA： ≠ C。 ? 可將 r轉(zhuǎn)換為 z值： ?????????????????????????????? ||1||1ln 11ln＜0)(　　21或　　?。?)( 21　　　　rrrzrrrz(942) ? 可測驗 H0： 。40)的 z 轉(zhuǎn)換進行。 ? 在 H0： = 被接受時，應(yīng)將 r1和 r2合并為一個 r來 3131?????2121 nnzz?2121)()( 21zzzzzzu