【正文】 第二節(jié) 直線回歸 ? 一、直線回歸方程 ? 二、直線回歸的假設(shè)測驗(yàn)和區(qū)間估計(jì) ? 三、直線回歸的矩陣求解 一、直線回歸方程 (一 )直線回歸方程式 (9例如，作物的產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系，兩類變數(shù)受誤差的干擾表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)關(guān)系。 ? 這個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)在兩個(gè)變數(shù)為直線相關(guān)時(shí)稱為相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)，記為 r；在多元相關(guān)時(shí)稱為復(fù)相關(guān)系數(shù) (multiple correlation)，記作Ry2)代入 (9注意：此直線必通過點(diǎn) ( ， )，它可作為制圖是否正確的核對(duì)。7) j?2??jjj ebxay ???(9 )( 2, ???? XN ?2??y? 2 xys /? ? XY /? 2．回歸截距的置信區(qū)間 ? 由 (9連 ? 接各 (x， L2)得 線。 的元素用 cij表示，在統(tǒng)計(jì)上又稱 cij為 高斯乘數(shù)(Gauss multiplier)。 ? 可定義雙變數(shù)總體的相關(guān)系數(shù)為： ? ??N YX YX1))(( ??? （ 9 ? ② r 是可正可負(fù)的，而 r2則一律取正值，其取值區(qū)間為 [0， 1]。41) ? 由 (9 yyyxxSSrSSSSSS SPSSSPU 222?????yy SSrUSSQ )(1 2????? 二、直線回歸和相關(guān)的應(yīng)用要點(diǎn) ? (1) 回歸和相關(guān)分析要有學(xué)科專業(yè)知識(shí)作指導(dǎo)。 1xT 1x 1yT 1y 2xT2x 2yT2y???????1kx 2kx 3kx nkx kxT kx1ky 2ky 3ky nky kyT kyxTyTxy組 別 觀 察 值 總和 平均 1 x11 x12 x13 … x1n y11 y12 y13 … y1n 2 x21 x22 x23 … x2n y21 y22 y23 … y2n k … … ? 單向分組資料協(xié)方差分析的樣本線性組成為： (9 表 90個(gè)小麥品種的小穗數(shù) (x)和百粒重 (y)的方差分析與協(xié)方差分析 22 4 )()( xxe ??? ?22 4 )()( yye ??? ?ecov?cov2 )(xe? 2)(ye?ecov+4 變異來源 DF x的方差分析 y的方差分析 (x， y)的協(xié)方差分析 SS MS EMS SS MS EMS SP MP EMP 品種間 89 597.99 6.7190 87.8251 868 127.426 2 品種內(nèi) 270 108.81 0.4030 8.3161 308 1 9 總變異 359 706.80 96.1412 117.501 ? 表 ， x和 y兩者的方差分析按第六章第三節(jié)的方法作出； (x， y )的 SP 則由 (9：穎花數(shù) x每增加 1(萬 /m2)， ? 結(jié)實(shí)率 y 將下降 ％。 3． 在本試驗(yàn)中 ， 不同的施肥期和施肥量對(duì)南優(yōu) 3號(hào)的結(jié)實(shí)率只有間接的效應(yīng) ， 沒有直接效應(yīng) 。 又由于總變異中是包括區(qū)組變異的 ， 所以也予剔除 ， 而以 “ 處理 +誤差 ” 代替 。 ? (4) 如果所得 F 為不顯著，表明間無顯著差異；如果 F 為顯著，則必須算出各個(gè)，進(jìn)行多重比較，作出相應(yīng)推斷。 ? ????nii yyxxnc o v1))((11︿(9 ? 即 ))((212121yyxx SSSSSSSSSPSPr????第四節(jié) 直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系和應(yīng)用要點(diǎn) ? 一、直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系 ? 二、直線回歸和相關(guān)的應(yīng)用要點(diǎn) ? 一、直線回歸與相關(guān)的內(nèi)在關(guān)系 ? 回歸與相關(guān)間的內(nèi)在聯(lián)系 ： ? (1)相關(guān)系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)化的回歸系數(shù) ? 回歸系數(shù) b是有單位的，但若對(duì) b作消去單位的標(biāo)準(zhǔn)化處理，即對(duì) b中 x和 y的離均差以各自的標(biāo)準(zhǔn)差 sx和sy為單位，則有： ? ?? ??? ?? ???? ???? ???? ???????? ????????? ?? ???????? ?222222 )()()())(()())((xxxxyyyyxxxxsssyyxxsxxsyysxxxyxxyx 所以，有時(shí)把相關(guān)系數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)。37)的轉(zhuǎn)換已不再能由 t分布逼近。35） 2?? ?? )( yyU? ? 2)( yy? ??? 2? )( xxU? ? 2)( xxxyyxSSSSSPSSSSSPr /)(/)( 222 ??yx SSSSSP??2)(? 所以決定系數(shù)即相關(guān)系數(shù) r 的平方值。 ? ??N YX YX1 ))(( ?? ? 的值可用來度量兩個(gè)變數(shù)直線相關(guān)的相關(guān)程度和性質(zhì)。26) ? 要使 (922) ? 保證概率為 Y 或 y 的預(yù)測區(qū)間為 ： [L1= ， L2= + ] (915) 021 ?? ?? 021 ?? ??212121//22xxyxxybbbb SSsSSssss22?????)()(/ 22 21212?????nnsxy? [例 ] 測定兩玉米品種葉片長寬乘積 (x)和實(shí)際葉面積 (y)的關(guān)系，得表 ，試測驗(yàn)兩回歸系數(shù)間是否有顯著差異。6C) (9 ? (三 )直線回歸方程的圖示 ? 直線回歸圖包括回歸直線的圖象和散點(diǎn)圖，它可以醒目地表示 x 和 y 的數(shù)量關(guān)系。 bxay ??? 時(shí)，分別對(duì) a和 b 求偏導(dǎo)數(shù)并令其為 0，可得正規(guī)方程組 （ normal equations） ： 得 ? 最小為)()( 2121bxayyyQnn???????????????????xyxbxayxban2xbya ??(9 ? 回歸分析 ：計(jì)算回歸方程為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)分析方法。 為 Y 依 X 的回歸方程 (regression equation of Y on X )。2) xSSSPxxyyxxxnxyxnxyb ???????????????22 )())(()(112)(? xxbybxxbyy ?????? )((9 ? 方法：制作直線回歸圖時(shí)，首先以 x為橫坐標(biāo)，以 y為縱坐標(biāo)構(gòu)建直角坐標(biāo)系 (縱、橫坐標(biāo)皆需標(biāo)明名稱和單位 )；然后取 x坐標(biāo)上的一個(gè)小值 x1代入回歸方程得 ，取一個(gè)大值 x2代入回歸方程得 ，連接坐標(biāo)點(diǎn) (x1， )和 (x2， )即成一條回歸直線。6D) ? (五 )直線回歸的數(shù)學(xué)模型和基本假定 ? 直線回歸模型中， Y 總體的每一個(gè)值由以下三部分組成： ①回歸截距 ， ②回歸系數(shù) ， ③ Y變數(shù)的隨機(jī)誤差 。 表 玉米葉片長寬乘積和葉面積關(guān)系的計(jì)算結(jié)果 由表 : 品 種 n SSx SSy SP b Q 七葉白 22 1351824 658513 942483 1420 石榴子 18 1070822 516863 743652 420 )(182)(22 42022202 ???? ??xys / ? 這一結(jié)果是完全不顯著的，所以應(yīng)接受 H0： 即認(rèn)為葉片長寬乘積每增大 1cm2，葉面積平均要增大的單位數(shù)在七葉白和石榴子兩品種上是一致的，其共同值為 : 921070 822 11351 824 121???? bbs 944 971 8 ???t21 ?? ?2121xx SSSSSPSPb??? 0 . 6 9 5 9 8????10708221351824743652942483 22( c m /c m )? （二）直線回歸的區(qū)間估計(jì) 1．直線回歸的抽樣誤差 ? 在直線回歸總體 中抽取若干個(gè)樣本時(shí)，由于 ，各樣本的 a、 b 值都有誤差。23) 6．置信區(qū)間和預(yù)測區(qū)間的圖示 ? 首先取若干個(gè)等距的 x 值 (x 取值愈密，作圖愈準(zhǔn)確），算得與其相應(yīng)的 、 、 和 、 的值；然后再由 和 算得各 x上的 L1和 L2，并標(biāo)于圖上；最后將各個(gè) L1和 L2分別連成曲線即可。26)中的 b成為回歸統(tǒng)計(jì)數(shù)，必須滿足 為最小 。但是， X 和 Y 的變異程度、所取單位及 N的大小都會(huì)影響其大小。 ? 決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的 區(qū)別 在于： ① 除掉 |r |=1和 0的情況外， r2總是小于 |r |。 ? 可將 r轉(zhuǎn)換為 z值： ?????????????????????????????? ||1||1ln 11ln＜0)(　　21或　　　＞0)( 21　　　　rrrzrrrz(9 ? (2) 相關(guān)系數(shù) r是 y依 x的回歸系數(shù) by/x和 x依 y的回歸系數(shù) bx/y的幾何平均數(shù)。46) ? (二 ) 協(xié)方差分析的功用 ? 1. 當(dāng)（ x， y）為 因果關(guān)系 時(shí)， 可利用 y 依 x 的回歸系數(shù)矯正 y變數(shù)的處理平均數(shù) ，提高精確度。 ? (四 ) 相關(guān)關(guān)系資料的協(xié)方差分析 ? 相關(guān)關(guān)系資料的協(xié)方差分析主要討論兩個(gè)互有聯(lián)系的總體的相關(guān)問題。 這里的 “ 處理 +誤差 ” 和單向分組資料的總變異同義 ， 參見表。 。 由于誤差項(xiàng)的回歸系數(shù)和各處理的特點(diǎn)無關(guān) ， 故 b= 。得到小穗數(shù) (x )和百粒重 (y )的方差和協(xié)方差分析結(jié)果于表 。 ? 二、單向分組資料的協(xié)方差分析 ? (一 ) 資料模式與線性組成 設(shè)有 k 組回歸樣本，每組各有 n 對(duì)觀察值，則該資料共有 kn 對(duì)數(shù)據(jù)，其模式如表 。4)表示的回歸方程可改寫成： )(? xxssryyxy ???? (4) 線性回歸和離回歸的平方和也可用相關(guān)系數(shù)表示。40) (9例如， r =，只是說明由 x 的不同而引起的 y 變異 (或由 y 的不同而引起的 x 變異 )平方和僅占 y 總變異 (或 x 總變異 ) ? 平方和的 r2 =，即 25%，而不是 50%。方法就是