數(shù)學(xué)二次函數(shù)與四邊形的動點問題(含答案)-wenkub
2023-07-09 06:03:21 本頁面
【正文】 次函數(shù)與四邊形的面積例1.（資陽市），已知拋物線P：y=ax2+bx+c(a≠0) 與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標(biāo)對應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：x…3212…y…40…圖10(1) 求A、B、C三點的坐標(biāo)；(2) 若點D的坐標(biāo)為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；(3) 當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=kDE=(42m) 3m=12m6m2 (0＜m＜2) .注：也可通過解Rt△BOC及Rt△AOC，或依據(jù)△BOC是等腰直角三角形建立關(guān)系求解.(3)∵SDEFG=12m6m2 (0＜m＜2)，∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6 .當(dāng)矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，2)，F(xiàn)(2，2)，E(2，0)，設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=，∴，又可求得拋物線P的解析式為：，令=，可求出. 設(shè)射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標(biāo)為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有==，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是k≠且k＞0.說明：若以上兩條件錯漏一個，本步不得分.若選擇另一問題：(2)∵，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，∴=DG（2）設(shè)過A，B，C三點的拋物線關(guān)系式為，∵拋物線過點A（0，4）， ∴．則拋物線關(guān)系式為． 6分所求拋物線關(guān)系式為：． 7分（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． OA . 所以，當(dāng)點B坐標(biāo)為B(，1)或B′(，1)時，□ABCD為矩形，此時，點D的坐標(biāo)分別是D(，1)、D′( ，1).因此，符合條件的矩形有且只有2個，即矩形ABCD和矩形AB′CD′ .設(shè)直線AB與y軸交于E ，顯然，△AOE∽△AHB，∴ = ，∴.∴ EO=42 . 由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面積為S=2SΔACE=2 AC EO =24(42)=16 8. 三．二次函數(shù)與四邊形的動態(tài)探究：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90176。即點Q與點B重合時滿足條件．直線PB為y=x－1，與y軸交于點(0，－1)．將PB向上平移2個單位則過點E(0，1)，∴該直線為y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故該拋物線上存在兩點Q(4，3)、(5，6)滿足條件．?。海?）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ……………………1分∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC∴點B的坐標(biāo)為（2，0），點C的坐標(biāo)為（0，8）又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標(biāo)為（－6，0） …………………4分（2）∵點C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，得 解得∴所求拋物線的表達(dá)式為y＝x2 x＋8 ………………………7分（3）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC∴ 即∴EF＝∴＝ ∴FG＝以AB邊在AB右側(cè)作正方形ABPQ?！郟、Q在拋物線上。由勾股定理得AQ＝BP＝AB＝，而∠BAQ＝90176。如圖，將線段CA沿CA方向平移至AQ，∵C（－3,1）的對應(yīng)點是A（－1,0），∴A（－1,0）的對應(yīng)點是Q（1,－1），再將線段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1）∵∠BAC＝90176。由⑴知△ABC是等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45176。的直徑。∴BF＝MF，∴19?！逨M∥BG，∴∠MFB＝∠EBF＝90176?！唷螮AF＝90176。經(jīng)驗證P（2,1）、Q（1,－1）兩點均在拋物線上。故在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P（2,1）、Q（1,－1），使四邊形ABPQ是正方形。⑵另解：在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形。由（1）拋物線。（以上答案僅供參考，如有其它做法，可參照給分）例3解: （1）相等 理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，
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