20xx年數(shù)學建模競賽a題論文-wenkub
2022-11-17 10:06:03 本頁面
【正文】 o s 1 / 0 . 6 0 . 0 9 s in 2 a r c o s 1 / 0 . 6 0 . 1 8 2 . 9 1S x h x h x ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? 其中： ? ? 1 ta n ta nh x l x???? 所以 ： 7 ? ?1 3m a x04 .1 0 2 3 1 0lV S x d x ?? ? ?? 圖 4 圖 5 ⑤ 當 ? ?3 l h??即 時， 如圖 6 所示 此時罐體內(nèi)儲油量并不一定最大， 可得到此時 最大值 即為 罐體的容積 為m ax abl???，最小值為 情況 ③中的臨 界狀態(tài)為 minV 。39。 39。 39。 32 tanlHll ???? , 39。 39。 39。39。 3 212 ta nHHV H a b l f l fbb ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 6 圖 2 圖 3 ③ 當 ? ?3 1 3ta n 1 .1 7 1 1 .2l l h l h?? ? ? ? ?即時 ， 如 圖 4 所示 此時 31tanl h l ??? ,可按 1 tanhl?? 求出圖 4 中陰影部分面積 39。39。 設在油罐中點處量得垂直油罐底面的油 高為 H ,則由幾何關系 (見圖 2)可得到： 1 ta n ta n2lH h l ??? ? ? ① 當 ? ?2 3 1ta n ta n 0 .1 4 7 1 .1 7 1l h l l h??? ? ? ? ?即時，如圖 2 所示 按照 中相同 方法 通過 積分可推導得到此時儲油量 ? ?VH與 H 關系： ? ? 3212 ta nHHV H a b lf l fbb ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 其中 ： 21 2H1 a r c s in 12H H H Hf b b b b b?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?； ? ?2 2/112 1 / 1H H bf b Hb??? ?????? ?? 這樣就得到 ??Vh與 h 的對應關系。 五、 模型的建立與求解 問題一 基于以 上對問題的詳細分析 ， 我們可以建立以下的數(shù)學模型來 求解罐體變位對罐容表的影響。 關于變位識別，可以通過判斷變位參數(shù)是否為 0 來確定罐體是否傾斜。 在本文后面的模型建立和求解過程中有該分析過程的詳細解答 。 首先分析罐體無變位時的情況。 問題二 ：對于實際儲油罐，試建立罐 體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（ 縱向傾斜角度 ?和橫向偏轉(zhuǎn)角度 ?） 之間的一般關系。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容 表進行重新標定。請利用罐體變 位后在進 /出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件 2） ，根據(jù) 所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為 10cm的罐容表標定值。臥式儲油罐的長度一定為 米，且為兩端平頭的橢圓柱體，當油位高度一定時，罐內(nèi)油體各截面面積相同，利用一重定積分可以計算出此截面的面積，從而算出此時的儲油量。 問題二 ： 考慮實際儲油罐的情況時，需要增加兩 端的球冠體，同時儲油罐的變位參數(shù)變?yōu)??， ?，這樣問題變得 更為復雜。 在后面的求解過程中我們給出了 該分析 的 較 詳細 解答過程 。 罐體無變位 時 ， 模型的建立 與求解 ： 此時罐體內(nèi)油的截面積相同， 為橢圓 陰影 部分 的 面積， 現(xiàn) 以橢圓中心為原點，建立直角坐標系 XOY 來求出其面積。 ② 當 ? ?20 ta n 0 0. 14 7h l h?? ? ? ?即時，如 圖 3 所示 此時油罐內(nèi)的容油量可認為是長為 39。39。V ,再用罐體的總?cè)莘e減去 39。 39。39。 39。39。39。 39。 39。 按照 ③ 中方法，先求出 中陰影部分體積 39。m in ab l V?? ? ? 8 圖 6 綜上所述， 當 罐體有位變 ? ????時，罐體內(nèi)儲油量與油面高度之間的關系 為 ： 39。 3 212321239。39。 3 212m i n 0 , m a x 4. 10 23 0t a n 0 0. 14 7t a n 0. 14 7 1. 17 1t a n 1. 17 1 1. 2m i n 4. 01 26 , m a x 4. 11 0 1. 2hHHab l f l f hbbHHab l f l f hVbbHHab l ab l f l f hbbab l h?????? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????????????? （ 其中1 ta n ta n2lH h l ??? ? ? 39。 32 tanlHll ???? ， 39。 結(jié)果 的 分析： ① 在無變位進油的情況下，觀察數(shù)據(jù)得到，理論油量與實際油 量的差值逐漸增大，第一 個差值為 升，最后一個差值為 升 ，處理數(shù)據(jù)得到，其理論油 量一級逐差值 V理 均在 升 左右很小的范圍內(nèi)波動，而實際油 量的一級逐差值 V實為 50 升，即每個油位高度差對應的理論 油 量比實際 油 量多 V差 =升，且理論 油 量與實際 油 量相差一個系數(shù) ? （ ? =實際 油 量 /理論 油 量 =%）。 在傾斜變位進油的情況下，理論計算得到的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)差值較大，除了無變位情況中考慮的容器體積的影響外，還有由傾斜引起的一些未知因素，以及理論算法中做的近似處理，這些都是引起誤差的原因，由于這些誤差難以定量研究，這里通過已有的實際數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)，利用統(tǒng)計分析的方法尋找它們之間的關系。 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 4 0 3 0 2 0 1 001020304050殘差分析圖rintr圖 11：殘差分析圖 d、檢驗：在上面參數(shù)求解中得到的相關系數(shù) R2 、 F 值由于 Matlab 的精度限制未能得到符合實際的解，所以這里采用 SPSS 軟件進行進一步求解，得到部分結(jié)果如下： R=， R2 =， F=，由此可看出模型是合理的。 兩個標定值的對比散點圖如圖 15 所示： 0500100015002020250030003500400045000 200 400 600 800 1000 1200 1400高度（m m ）油量（L）無變位罐容表傾斜變位罐容表 圖 15：無變位標定值和傾斜變位標定值分別與高度關系的散點圖 由圖 15 可知，在油位高度接近滿罐的時候，無變位標定值與傾斜變位標定值非常接近，油位高度越小，差值越大。 圖 17 先由 圖 17 中幾何關系求出球冠體的半徑 r ： ? ?2221Rrr? ? ? 解得 ： ? 按照與 中相同的方法 積分按圖示 17 可以得到： ? ? ? ? ? ?1 1 12 .6 4 0 6 a r c o s 1 / 1 .6 2 5 0 .5 sin ( 2 a r c o s 1 / 1 .5 )S h h h ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? 221 ( 1 )h y R R y r? ? ? ? ? 將 ??1hx帶入到 ? ?1Sh 中可以得到 ??Sy，所以得到球冠體中油量為： ? ?39。 1 2 tanhh ??? ， 1 ( ) c osh h R R?? ? ?， 8L? ， R= ， ? ， ? ? ? ? ? ?? ?? ?11 si n 2 a r c os 2 t a n t a n / 12 2 t a n t a a r c os
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