【正文】 16?黔東南州）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么（a+b）2的值為（　　）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形求出ab與a2+b2的值，原式利用完全平方公式化簡后代入計算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13，4ab=13﹣1=12，即2ab=12，則（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故選C【點評】此題考查了勾股定理的證明，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．　9．（2016?黃岡校級自主招生）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，則AD的長為（　　）A．3 B．4 C．2 D．4【分析】在Rt△AOB、Rt△DOC中分別表示出AODO2，從而在Rt△ADO中利用勾股定理即可得出AD的長度．【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3．故選A．【點評】此題考查了勾股定理的知識，解答本題的關鍵是在Rt△AOB、Rt△DOC中分別表示出AODO2，需要我們熟練掌握勾股定理的表達形式．　10．（2016?雅安校級自主招生）如圖：已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC、BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關系為（　?。〢．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．不能確定【分析】根據(jù)題給圖形可知：S1=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC，S2=S△ABC，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2，繼而即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，∴S1=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC=π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC=S△ABC，S2=S△ABC．∴S1=S2．故選C．【點評】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意得出陰影部分的面積與直角三角形三條邊的關系是解答此題的關鍵．　11．（2016?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（　?。〢．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF【分析】設出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【解答】解：設小正方形的邊長為1，則AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因為AB2+EF2=GH2，所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB、EF、GH．故選：B．【點評】考查了勾股定理逆定理的應用．　12．（2016?富順縣校級模擬）如圖，將一邊長為a的正方形（最中間的小正方形）與四塊邊長為b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，則四邊形ABCD的面積為（　　）A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a(chǎn)2+2ab【分析】先求出AE即DE的長，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四邊形ABCD=4S△ADE+a2=4（b﹣a）?b+a2=b2+（b﹣a）2．故選：A．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．　二．填空題（共12小題）13．（2016?淮陰區(qū)一模）點A（3，﹣4）到原點的距離為　5　．【分析】易得點A的橫縱坐標的絕對值與到原點的距離構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：點A的坐標為（3，﹣4）到原點O的距離：OA==5，故答案為：5．【點評】本題主要利用了“平面內(nèi)一點到原點的距離等于其橫縱坐標的平方和的算術平方根”這一知識點．　14．（2016?道外區(qū)二模）已知等腰三角形的腰長為5，一腰上的高為3，則以底邊為邊長的正方形的面積為　10或90?。痉治觥扛鶕?jù)題意作出圖形分為高線在三角形內(nèi)和高線在三角形外兩種情況，然后根據(jù)勾股定理計算求解即可．【解答】解：由題意可作圖．如圖1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根據(jù)勾股定理可知：AD==4，∴BD=1．∴BC2=12+32=10．如圖2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根據(jù)勾股定理可知：AD==4，∴BD=9，∴BC2=92+32=90．故答案是：10或90．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，作出圖形利用三角形知識求解即可．注意：需要分類討論．　15．（2016?煙臺）如圖，O為數(shù)軸原點，A，B兩點分別對應﹣3，3，作腰長為4的等腰△ABC，連接OC，以O為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點M，則點M對應的實數(shù)為　?。痉治觥肯壤玫妊切蔚男再|(zhì)得到OC⊥AB，則利用勾股定理可計算出OC=，然后利用畫法可得到OM=OC=，于是可確定點M對應的數(shù)．【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點M，∴OM=OC=，∴點M對應的數(shù)為．故答案為．【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．　16．（2016?綏化）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，∠DAB=∠CDB=90176?！郃F為BD邊上的中線，∴AF=BD，∵AB=AD=，∴根據(jù)勾股定理得：BD==2，∴AF=，在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30176。若AB=DE=8，則BE=　8﹣2?。ńY(jié)果保留根號）【分析】過B作BG⊥FC，交FC于點G；由三角函數(shù)求出BC的長，由等腰直角三角形得性質(zhì)和含30176。AB=8，∴∠ABC=∠BCG=30176。2=[（3）2﹣25]247。AC=3，BC=4，∴AB==5，∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，∴CF=DF，在△ADF和△ACF中，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF=∠ACF=90176。則x的取值范圍是　≤x≤2　．【分析】先根據(jù)勾股定理計算出AC=6，由于∠BQP=90176。AB=5，AD=3，點M在邊AB上，則DM的最大值為　?。痉治觥窟B結(jié)BD，作輔助線構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求出DM的最大值．【解答】解：連結(jié)BD，∵∠A=90176。利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；情況二：利用銳角三角函數(shù)得AP的長；如圖2，當∠BAP=90176?！唷鰽OP為等邊三角形，∴∠OAP=60176?！唷螧OP=60176。時，如圖3，∵∠AOC=120176。∠D=150176。則∠2=90176。．（1）求ED、EC的長；（2）若BP=2，求CQ的長．【分析】（1）由勾股定理求得BC=10．通過“兩角法”證得△CDE∽△CAB，則對應邊成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如圖2，當P點在AB上時，由∠PDQ=90176?！唷?+∠4=90176。．∵∠3+∠2=90176。在Rt△ACB中，根據(jù)三角函數(shù)可求AB的長；（2）在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)可求BE，BC，再根據(jù)EC=BC﹣BE即可求解．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D=60176?！郆E=AB=，由（1）可知，BC=AB==15，∴EC=BC﹣BE=．【點評】本題主要考查了勾股定理，三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)求出線段的長是本題的基本思路．　30．（2016?濱海新區(qū)二模）如圖，將線段AB放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，點B均落在格點上．（1）AB的長等于　?。唬?）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在線段AB上畫出點P，使AP=，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）　取格點C、D，連接CD，CD與AB交于點P，則點P即為所求．（可根據(jù)△APC∽△BPD證明）?。痉治觥浚?）利用格點，根據(jù)勾股定理求出AB的長；2）根據(jù)三角形相似，使得AP為AB長度的即可．【解答】解：（1）AB==；（2）如圖所示：取格點C、D，連接CD，CD與AB交于點P，則點P即為所求．（可根據(jù)△APC∽△BPD證明）故答案為；取格點C、D，連接CD，CD與AB交于點P，則點P即為所求．（可根據(jù)△APC∽△BPD證明）．【點評】本題考查了勾股定理，充分利用格點的特點和相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．　31．（2016?安徽模擬）如圖，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．點P是MN上一個動點．（1）如圖①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于點P．若AB=4，CD=6．試求AD的長；（2）如圖②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的長．【分析】（1）過點P作PE⊥BC于E，過點B作BF⊥CD于F，利用角平分線性質(zhì)定理可得AP=PE，再由全等三角形的判定方法可知Rt△ABP≌Rt△EBP，同理可證Rt△CEP≌Rt△CDP，進而可得AB=BE，CE=CD，即BC=10，易證四邊形ABFD是矩形，所以BF=AD，利用勾股定理求出BF的長即可；（2）如圖2，延長CB和PA，記交點為點Q．根據(jù)等腰△QPC“三合一”的性質(zhì)證得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的對應邊成比例得到，則CD=2AB，問題得解；【解答】解：（1）過點P作PE⊥BC于E，過點B作BF⊥CD于F，∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，∴AP=PE，在Rt△ABP和Rt△EBP中，∴Rt△ABP≌Rt△EBP，∴AB=BE=4，同理可得CE=CD=6，∴BC=BE+CE=10，易證四邊形ABFD是矩形，∴BF=AD，CF=6﹣4=2，∴