【正文】 16?黔東南州）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么（a+b）2的值為（　?。〢．13 B．19 C．25 D．169【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形求出ab與a2+b2的值，原式利用完全平方公式化簡后代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題意得：c2=a2+b2=13，4ab=13﹣1=12，即2ab=12，則（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故選C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的證明，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．　9．（2016?黃岡校級(jí)自主招生）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，則AD的長為（　?。〢．3 B．4 C．2 D．4【分析】在Rt△AOB、Rt△DOC中分別表示出AODO2，從而在Rt△ADO中利用勾股定理即可得出AD的長度．【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是在Rt△AOB、Rt△DOC中分別表示出AODO2，需要我們熟練掌握勾股定理的表達(dá)形式．　10．（2016?雅安校級(jí)自主招生）如圖：已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC、BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個(gè)月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為（　　）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．不能確定【分析】根據(jù)題給圖形可知：S1=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC，S2=S△ABC，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2，繼而即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，∴S1=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC=π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC=S△ABC，S2=S△ABC．∴S1=S2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意得出陰影部分的面積與直角三角形三條邊的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．　11．（2016?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（　?。〢．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF【分析】設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗(yàn)算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因?yàn)锳B2+EF2=GH2，所以能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是AB、EF、GH．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用．　12．（2016?富順縣校級(jí)模擬）如圖，將一邊長為a的正方形（最中間的小正方形）與四塊邊長為b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，則四邊形ABCD的面積為（　?。〢．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a(chǎn)2+2ab【分析】先求出AE即DE的長，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：∵DE=b﹣a，AE=b，∴S四邊形ABCD=4S△ADE+a2=4（b﹣a）?b+a2=b2+（b﹣a）2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．　二．填空題（共12小題）13．（2016?淮陰區(qū)一模）點(diǎn)A（3，﹣4）到原點(diǎn)的距離為　5?。痉治觥恳椎命c(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值與到原點(diǎn)的距離構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，﹣4）到原點(diǎn)O的距離：OA==5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用了“平面內(nèi)一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于其橫縱坐標(biāo)的平方和的算術(shù)平方根”這一知識(shí)點(diǎn)．　14．（2016?道外區(qū)二模）已知等腰三角形的腰長為5，一腰上的高為3，則以底邊為邊長的正方形的面積為　10或90?。痉治觥扛鶕?jù)題意作出圖形分為高線在三角形內(nèi)和高線在三角形外兩種情況，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算求解即可．【解答】解：由題意可作圖．如圖1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根據(jù)勾股定理可知：AD==4，∴BD=1．∴BC2=12+32=10．如圖2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根據(jù)勾股定理可知：AD==4，∴BD=9，∴BC2=92+32=90．故答案是：10或90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，作出圖形利用三角形知識(shí)求解即可．注意：需要分類討論．　15．（2016?煙臺(tái)）如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)﹣3，3，作腰長為4的等腰△ABC，連接OC，以O(shè)為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為　　．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到OC⊥AB，則利用勾股定理可計(jì)算出OC=，然后利用畫法可得到OM=OC=，于是可確定點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)．【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O(shè)為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，∴OM=OC=，∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．　16．（2016?綏化）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，∠DAB=∠CDB=90176?！郃F為BD邊上的中線，∴AF=BD，∵AB=AD=，∴根據(jù)勾股定理得：BD==2，∴AF=，在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30176。若AB=DE=8，則BE=　8﹣2?。ńY(jié)果保留根號(hào)）【分析】過B作BG⊥FC，交FC于點(diǎn)G；由三角函數(shù)求出BC的長，由等腰直角三角形得性質(zhì)和含30176。AB=8，∴∠ABC=∠BCG=30176。2=[（3）2﹣25]247。AC=3，BC=4，∴AB==5，∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，∴CF=DF，在△ADF和△ACF中，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF=∠ACF=90176。則x的取值范圍是　≤x≤2?。痉治觥肯雀鶕?jù)勾股定理計(jì)算出AC=6，由于∠BQP=90176。AB=5，AD=3，點(diǎn)M在邊AB上，則DM的最大值為　?。痉治觥窟B結(jié)BD，作輔助線構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求出DM的最大值．【解答】解：連結(jié)BD，∵∠A=90176。利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；情況二：利用銳角三角函數(shù)得AP的長；如圖2，當(dāng)∠BAP=90176。∴△AOP為等邊三角形，∴∠OAP=60176?！唷螧OP=60176。時(shí)，如圖3，∵∠AOC=120176?！螪=150176。則∠2=90176。．（1）求ED、EC的長；（2）若BP=2，求CQ的長．【分析】（1）由勾股定理求得BC=10．通過“兩角法”證得△CDE∽△CAB，則對(duì)應(yīng)邊成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)，由∠PDQ=90176?！唷?+∠4=90176。．∵∠3+∠2=90176。在Rt△ACB中，根據(jù)三角函數(shù)可求AB的長；（2）在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)可求BE，BC，再根據(jù)EC=BC﹣BE即可求解．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D=60176?！郆E=AB=，由（1）可知，BC=AB==15，∴EC=BC﹣BE=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)求出線段的長是本題的基本思路．　30．（2016?濱海新區(qū)二模）如圖，將線段AB放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B均落在格點(diǎn)上．（1）AB的長等于　　；（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在線段AB上畫出點(diǎn)P，使AP=，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）　取格點(diǎn)C、D，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．（可根據(jù)△APC∽△BPD證明）?。痉治觥浚?）利用格點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出AB的長；2）根據(jù)三角形相似，使得AP為AB長度的即可．【解答】解：（1）AB==；（2）如圖所示：取格點(diǎn)C、D，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．（可根據(jù)△APC∽△BPD證明）故答案為；取格點(diǎn)C、D，連接CD，CD與AB交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．（可根據(jù)△APC∽△BPD證明）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，充分利用格點(diǎn)的特點(diǎn)和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．　31．（2016?安徽模擬）如圖，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．點(diǎn)P是MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于點(diǎn)P．若AB=4，CD=6．試求AD的長；（2）如圖②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的長．【分析】（1）過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，利用角平分線性質(zhì)定理可得AP=PE，再由全等三角形的判定方法可知Rt△ABP≌Rt△EBP，同理可證Rt△CEP≌Rt△CDP，進(jìn)而可得AB=BE，CE=CD，即BC=10，易證四邊形ABFD是矩形，所以BF=AD，利用勾股定理求出BF的長即可；（2）如圖2，延長CB和PA，記交點(diǎn)為點(diǎn)Q．根據(jù)等腰△QPC“三合一”的性質(zhì)證得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，則CD=2AB，問題得解；【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，∴AP=PE，在Rt△ABP和Rt△EBP中，∴Rt△ABP≌Rt△EBP，∴AB=BE=4，同理可得CE=CD=6，∴BC=BE+CE=10，易證四邊形ABFD是矩形，∴BF=AD，CF=6﹣4=2，∴