【正文】 有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性， 如 求函數(shù) 2sin 11 siny ? ??? ?，313x xy? ? ， 2sin 11 cosy ? ??? ? 的值域（ 答： 1( , ]2?? 、（ 0,1）、 3( , ] 2?? ）； （ 4） 單調(diào)性法 ――利用一次函數(shù)， 反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如 求 1 (1 9)y x xx? ? ? ?， 229si n 1 si nyx x???， 5 32 log 1xyx?? ? ?的值域?yàn)?______（ 答： 80(0, ) 11[ ,9] [2,10] ）； （ 5） 數(shù)形結(jié)合法 ――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等， 如（ 1） 已知點(diǎn) ( , )Pxy 在圓 221xy??上，求2yx?及 2yx? 的取值范圍（答：33[ , ]33? 、 [ 5, 5]? ）； （ 2） 求函數(shù) 22( 2) ( 8 )y x x? ? ? ?的值域（答： [10, )?? ）；（ 3） 求函數(shù) 226 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?及 226 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?的值域（答： [ 43, )?? 、 ( 26, 26)? ） 注意 ：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在 x 軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在 x 軸的同側(cè)。 如（ 1） 函數(shù)? ?? ?24lg 3xxyx???的定義域是 ____(答： (0, 2 ) (2, 3) (3, 4 ))； （ 2） 若函數(shù)2 743kxy kx kx?? ??的定義域?yàn)?R，則 k? _______(答： 30,4??????)；（ 3） 函數(shù) ()fx的定義域是 [, ]ab ， 0ba?? ? ，則函數(shù) ( ) ( ) ( )F x f x f x? ? ?的定義域 是 __________( 答： [, ]aa? ) ； （ 4 ） 設(shè)函數(shù)2( ) l g ( 2 1 )f x a x x? ? ?， ① 若 ()fx的定義域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； ② 若 ()fx的值域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍（答： ① 1a? ； ② 01a??） （ 2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。如（ 1） 已知函數(shù) ()fx， xF? ， 那么集合 {( , ) | ( ) , } {( , ) | 1 }x y y f x x F x y x? ? ?中所含元素的個(gè)數(shù)有 個(gè)（ 答： 0 或 1）； （ 2） 若函數(shù) 4221 2 ??? xxy的定義域、值域都是閉區(qū)間 ]2,2[ b ，則 b ＝ （ 答： 2） 3. 同一函數(shù)的概念 。 高考數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)（二） 函 數(shù) f : A?B 的概念 。對(duì)于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形？ 如：（ 1） ? ? ? ?22 2 2 1 0a x a x? ? ? ? ?對(duì)一切 Rx?恒成立，則 a 的取值范圍是 _______（答： (1,2] ）； （ 2） 關(guān)于 x 的方程 ()f x k? 有解的條 3 件是什么？ (答： kD? ，其中 D 為 ()fx的值域 )，特別地，若在 [0, ]2?內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根滿足等式 c o s 2 3 s in 2 1x x k? ? ?，則實(shí)數(shù) k 的范圍是 _______.（答： [0,1) ） 。 如 已知關(guān)于 x 的不等式 0)32()( ???? baxba 的解集為 )31,( ??? ，則關(guān)于 x的不等式 0)2()3( ???? abxba 的解集為 _______（答： { | 3}xx?? ） 11. 一元二次不等式的解集 （聯(lián)系圖象） 。從集合角度解釋， 若BA? ，則 A 是 B 的充分條件；若 BA? ，則 A 是 B 的必要條件；若 A=B，則 A 是 B 的充要條件。但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià)； （ 2） 在寫出一個(gè)含有“或”、“且”命題的否命題時(shí)，要 注意“ 非或即且，非且即或 ”； （ 3） 要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：否命題要對(duì)命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對(duì)命題的結(jié)論否定； （ 4） 對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系或否定式的命題，一般利用等價(jià)關(guān)系“ A B B A? ? ?”判斷其真假，這也是反證法的理論依據(jù)。 如 在下列說(shuō)法中： ⑴ “ p 且 q ”為真是“ p 或 q ”為真的充分不必要條件； ⑵ “ p 且 q ”為假是“ p 或 2 q ”為真的充分不必要條件； ⑶ “ p 或 q ”為真是“非 p ”為假的必要不充分條件； ⑷ “非p ”為真是“ p 且 q ”為假的必要不充分條件。如： ? ?xyx lg| ?— 函數(shù)的定義域； ? ?xyy lg| ? — 函數(shù)的值域； ? ?xyyx lg|),( ? — 函數(shù)圖象上的點(diǎn)集， 如（ 1） 設(shè)集合 { | 2 }M x y x? ? ?，集合 N＝ ? ?2|,y y x x M??，則 MN? ___（ 答：[4, )?? ）； （ 2） 設(shè)集合 { | (1 , 2 ) ( 3 , 4 ) , }M a a R??? ? ? ?， { | ( 2 , 3 ) ( 4 , 5 )N a a ?? ? ?， }R?? ，則 ?NM? _____（ 答： )}2,2{( ?? ） 6. 數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，在具體 計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集 這兩種特殊情況， 補(bǔ)集思想 常運(yùn)用 于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題。（答： 8）（ 2） 設(shè){( , ) | , }U x y x R y R? ? ?， {( , ) | 2 0 }A x y x y m? ? ? ?， {( , ) |B x y x y n? ? ?0}? ，那么 點(diǎn) )()3,2( BCAP u?? 的充要條件是 ________（答： 5,1 ??? nm ）；（ 3）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且滿足“若 Sa? ，則 Sa??6 ”，這樣的 S 共有 _____個(gè) （答： 7） AB?? 時(shí) ，你是否注意到“極端”情況： A?? 或 B?? ；同樣當(dāng) AB?時(shí)，你是否忘記 ??A 的情形？要注意到 ? 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 。 1 高考數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)技巧總結(jié)（一） 集合與簡(jiǎn)易邏輯 基本概念、公式及方法是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學(xué)生，務(wù)必首先要掌握高中數(shù)學(xué)中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基本題型，明確解題中的易誤點(diǎn)，還應(yīng)了解一些常用結(jié)論，最后還要掌握一些的應(yīng)試技巧。如 集合 { | 1 0}A x ax? ? ?， ? ?2| 3 2 0B x x x? ? ? ?，且 A B B? ，則實(shí)數(shù) a ＝ ______.（ 答： 10,1,2a? ） n 個(gè)元素的有限集合 M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為 ，n2 ，12?n ，12?n .22 ?n 如 滿足 {1, 2 } {1, 2 , 3 , 4 , 5}M? ?? 集合 M 有 ______個(gè)。 如 已知函數(shù) 12)2(24)( 22 ?????? ppxpxxf 在區(qū)間 ]1,1[ 上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù) c ，使0)( ?cf ，求實(shí)數(shù) p 的取值范圍。其中正確的是 __________（ 答： ⑴⑶ ） 。 （ 5） 哪些命題宜用反證法？ 如（ 1） “在△ ABC 中，若∠ C=900，則∠ A、∠ B 都是銳角”的否命題為 （ 答： 在 ABC? 中，若 90C?? ，則 ,AB??不都是銳角）； （ 2） 已知函數(shù)2( ) , 11x xf x a ax ?? ? ??，證明方程 0)( ?xf 沒(méi)有負(fù)數(shù)根。 如（ 1） 給出下列命題： ① 實(shí)數(shù) 0?a 是直線 12 ?? yax 與 322 ?? yax 平行的充要條件； ② 若 0, ?? abRba 是 baba ??? 成立的充要條件； ③ 已知 Ryx ?, ，“若0?xy ，則 0?x 或 0?y ”的逆否命題是“若 0?x 或 0?y 則 0?xy ”； ④ “若 a 和 b 都是偶數(shù)，則 ba? 是偶數(shù)”的否命題是假命題 。尤其當(dāng) 0?? 和 0?? 時(shí)的解集你會(huì)正確表示嗎？ 設(shè) 0a? , 12,xx是方程 2 0ax bx c? ? ? 的兩實(shí)根，且 12xx? ，則其解集如下表： 2 0ax bx c? ? ? 2 0ax bx c? ? ? 2 0ax bx c? ? ? 2 0ax bx c? ? ? 0?? 1{|x x x? 或 2}xx? 1{|x x x? 或 2}xx? 12{ | }x x x x?? 12{ | }x x x x?? 0?? { | }2bxx a?? R ? { | }2bxx a?? 0?? R R ? ? 如 解關(guān)于 x 的不等式： 01)1(2 ???? xaax 。方程 2( ) 0 ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ? ?在 ),( ??k 上有兩根、在 ( , )mn 上有兩根、在 ),( k?? 和 ),( ??k 上各有一根的充要條件分別是什么？ 0( ) 0( ) 02fmfnbman?????? ????????、 ( ) 0fk? ）。在 理解映射概念時(shí)要注意： ⑴ A 中元素必須都有象且唯一；⑵ B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。 （ 3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知 ()fx的定義域?yàn)?[, ]ab ,其復(fù)合函數(shù) [ ( )]f gx 的定義域由不等式 ()a g x b??解出即可；若已知 [ ( )]f gx 的 定義域?yàn)?[, ]ab ,求 ()fx 的定義域，相當(dāng)于當(dāng) [ , ]x ab? 時(shí)，求 ()gx的值域（即 ()fx的定義域）。 （ 6） 判別式法 ――對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這 類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過(guò) 部分分式后，再利用均值不等式 ： ①2by kx? ?型，可直接用不等式性質(zhì)， 如 求232y x? ?的值域（ 答： 3(0,]2 ） ②2 bxy x mx n? ??型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式， 如（ 1） 求21 xy x? ?的值域（答：1( , ]2?? ）； （ 2） 求函數(shù) 23xy x ?? ? 的值域（ 答： 1[0,]2 ） ③ 22x m x ny x mx n?????型，通常用判別式法； 如 已知函數(shù) 23 2 8lo g 1m x x ny x??? ?的定義域?yàn)?R，值域?yàn)?[0， 2]，求常數(shù) ,mn的值（答： 5mn??） ④ 2x m x ny mx n????? ? 型，可用判別式法或均值不等式法， 如 求 2 11xxy x??? ? 的值域（答：( , 3] [1, )?? ? ??） （ 7） 不等式法 ――利用基本不等式 2 ( , )a b ab a b R ?? ? ?求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。（答： 21( ) 2 12f x x x? ? ?） （ 2） 代換（配湊）法 ――已知形如 ( ( ))f g x 的表達(dá)式，求 ()fx的表達(dá)式。 8. 反函數(shù)： （ 1） 存在反函數(shù)的條件 是對(duì)于原來(lái)函數(shù) 值域中的任一個(gè) y 值，都有唯一的 x 值與之對(duì)應(yīng) ，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立； 偶函數(shù)只有 ( ) 0( {0})f x x??有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。 如 單調(diào)遞增函數(shù) )(xf 滿足條件 )3( ?axf = x ，其中 a ≠ 0 ，若 )(xf 的反函數(shù) )(1 xf? 的定義域?yàn)?7 ?????? aa 4,1 ，則 )(xf 的定義域是 ____________（ 答： [4,7]） . ② 函數(shù) ()y f x? 的圖象與其反函數(shù) 1()y f x?? 的圖象關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱， 注意 函數(shù)()y f x? 的圖象與 1()x f y?? 的圖象相同。 。 如判斷 11( ) ( )2 1 2xf x x???的奇偶性 ___.（ 答： 偶函數(shù)） ③ 圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱 。 如 設(shè) )(xf 是定義域?yàn)?R 的任一函數(shù)， ( ) ( )() 2f x f xFx ??? ， 8 ( ) ( )() 2f x f xGx ??? 。 （ 2） 特別提醒： 求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域， 如 若函數(shù) 2( ) log ( 3 )af x x ax? ? ?在區(qū)間 ( , ]2a?? 上為減函數(shù)，求 a 的取值范圍（答： (1,2 3) ）；二是 在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào) “ ” 和 “ 或 ” ；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用 集合或不等式 表示．