【正文】 。對于多項(xiàng)式方程、不等式、函數(shù)的最高次項(xiàng)中含有參數(shù)時(shí)，你是否注意到同樣的情形？ 如：（ 1） ? ? ? ?22 2 2 1 0a x a x? ? ? ? ?對一切 Rx?恒成立，則 a 的取值范圍是 _______（答： (1,2] ）； （ 2） 關(guān)于 x 的方程 ()f x k? 有解的條 3 件是什么？ (答： kD? ，其中 D 為 ()fx的值域 )，特別地，若在 [0, ]2?內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根滿足等式 c o s 2 3 s in 2 1x x k? ? ?，則實(shí)數(shù) k 的范圍是 _______.（答： [0,1) ） 。如（ 1） 已知函數(shù) ()fx， xF? ， 那么集合 {( , ) | ( ) , } {( , ) | 1 }x y y f x x F x y x? ? ?中所含元素的個(gè)數(shù)有 個(gè)（ 答： 0 或 1）； （ 2） 若函數(shù) 4221 2 ??? xxy的定義域、值域都是閉區(qū)間 ]2,2[ b ，則 b ＝ （ 答： 2） 3. 同一函數(shù)的概念 。 運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元 t 的范圍 ）； （ 3） sin cos sin cosy x x x x? ? ? 的 5 值域?yàn)?____（ 答： 1[ 1, 2]2??）； （ 4） 249y x x? ? ? ?的值域?yàn)?____（ 答： [1,3 2 4]? ）； （ 3） 函數(shù)有界性法 ――直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性， 如 求函數(shù) 2sin 11 siny ? ??? ?，313x xy? ? ， 2sin 11 cosy ? ??? ? 的值域（ 答： 1( , ]2?? 、（ 0,1）、 3( , ] 2?? ）； （ 4） 單調(diào)性法 ――利用一次函數(shù)， 反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如 求 1 (1 9)y x xx? ? ? ?， 229si n 1 si nyx x???， 5 32 log 1xyx?? ? ?的值域?yàn)?______（ 答： 80(0, ) 11[ ,9] [2,10] ）； （ 5） 數(shù)形結(jié)合法 ――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等， 如（ 1） 已知點(diǎn) ( , )Pxy 在圓 221xy??上，求2yx?及 2yx? 的取值范圍（答：33[ , ]33? 、 [ 5, 5]? ）； （ 2） 求函數(shù) 22( 2) ( 8 )y x x? ? ? ?的值域（答： [10, )?? ）；（ 3） 求函數(shù) 226 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?及 226 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?的值域（答： [ 43, )?? 、 ( 26, 26)? ） 注意 ：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在 x 軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在 x 軸的同側(cè)。 如 已知 ()fx為二次函數(shù)，且 )2()2( ???? xfxf ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長為 2 2 ,求 ()fx的解析式 。 如 設(shè))0()1()( 2 ??? xxxxf .求 )(xf 的反函數(shù) )(1 xf? （ 答： 1 1( ) ( 1)1f x xx? ??? ） ． （ 3）反函數(shù)的性質(zhì)： ①反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。 ② 利用 函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式： ( ) ( ) 0f x f x? ? ?或 ()1()fxfx? ??（ ( ) 0fx? ）。 如 已知函數(shù) 3()f x x ax??在區(qū)間 [1, )?? 上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 ____(答： (0,3] ） )； ② 在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等， 特別要注意 (0by ax ax? ? ? 0)b? 型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為 ( , ],[ , )bbaa?? ? ??，減區(qū)間為[ , 0), (0, ]bbaa? .如（ 1） 若函數(shù) 2)1(2)( 2 ???? xaxxf 在區(qū)間（－∞， 4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ______(答： 3??a ） )； （ 2） 已知函數(shù) 1() 2axfx x ?? ? 在區(qū)間 ? ?2,? ?? 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 _____（答： 1( , )2?? ）； （ 3） 若函數(shù)? ? ? ?l og 4 0 , 1a af x x a ax??? ? ? ? ????? 且的值域?yàn)?R，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ______(答：04a?? 且 1a? ） )； ③ 復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是 同增異減 ， 如 函數(shù) ? ?212log 2y x x? ? ?的單調(diào)遞增區(qū)間是 ________(答：（ 1,2） )。特別地，點(diǎn) (, )xy 關(guān)于直線yx? 的對稱點(diǎn)為 (, )yx ；曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于直線 yx? 的對稱曲線的方程為 ( , )f yx 0? ；點(diǎn) ( , )xy 關(guān)于直線 yx?? 的對稱點(diǎn)為 ( , )yx?? ；曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于直線 yx?? 的對稱曲線的方程為 ( , ) 0f y x? ? ? 。 13. 函數(shù)的周期性 。 幾類常見 的抽象函數(shù) ： ① 正比例函數(shù)型： ( ) ( 0)f x kx k?? ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?； ② 冪函數(shù)型： 2()f x x? ( ) ( ) ( )f xy f x f y? ， ()()()x f xf y f y?； ③ 指數(shù)函數(shù)型： () xf x a? ( ) ( ) ( )f x y f x f y?? ， ()()()fxf x y fy??； ④ 對數(shù)函數(shù)型： ( ) logaf x x? ( ) ( ) ( )f x y f x f y??， ( ) ( ) ( )xf f x f yy ??； ⑤ 三角函數(shù)型： ( ) tanf x x? ( ) ( )()1 ( ) ( )f x f yf x y f x f y??? ?。 如（ 1） 數(shù)列 {}na中， *1 1 ( 2 , )2nna a n n N?? ? ? ?， 32na?，前 n 項(xiàng)和 152nS ??，則 1a ＝＿， n ＝＿（答：1 3a?? ， 10n? ）； （ 2） 已知數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和 212nS n n??，求數(shù)列 {| |}na 的前 n項(xiàng)和 nT （答： 2*2*12 ( 6 , )12 72 ( 6 , )nn n n n NT n n n n N? ? ? ??? ? ? ? ? ???） . （ 4） 等差中項(xiàng)： 若 ,aAb 成等差數(shù)列，則 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)，且2abA ??。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列 中的最大或最小項(xiàng)嗎？ 如（ 1） 等差數(shù)列 {}na 中， 1 25a? ， 9 17SS? ，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。如已知兩個(gè)正數(shù), ( )a b a b? 的等差中項(xiàng)為 A，等比中項(xiàng)為 B，則 A 與 B 的大小關(guān)系為 ______（答： A＞ B） 提醒 ： （ 1） 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及 前 n 和公式 中，涉及到 5 個(gè)元素： 1a 、 q 、 n 、 na 及nS ，其中 1a 、 q 稱作為基本元素。這些命題中，真 命題的 序號 是 （答： ②③ ） ： ⑴ 公 式 法： ① 等差 數(shù) 列通 項(xiàng)公 式 ；② 等 比數(shù) 列 通項(xiàng) 公 式。 如 ① 已知 11 11, 31nn naaa a ???? ?，求 na （答： 132na n? ?）；② 已知數(shù)列滿足 1a =1， 11n n n na a a a????，求 a （答：21na n?） 注意 ： （ 1） 用 1??? nnn SSa 求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（ 2n? ，當(dāng) 1n? 時(shí)， 11 Sa? ）； （ 2） 一般地當(dāng)已知條件中含有 na 與 nS 的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式 1??? nnn SSa ，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含 na 或 nS 的關(guān)系式，然后再求解。 如 已 知 數(shù)列 {}na 滿足 11a? ， nnaa nn ???? ? 111 ( 2)n? ，則na =________（答： 1 2 1nan? ? ? ?） ⑸ 已知 1 ()nna fna? ? 求 na ，用累乘法： 12 11 2 1nnn a a aaaa a a???? ? ? ? ?( 2)n? 。 (2) 若 {}na 是等比數(shù)列，則 {| |}na 、 *{ }( , )p nqa p q N? ? 、 {}nka 成等比數(shù)列；若{ }{ }nnab、 成等比數(shù)列，則 {}nnab 、 {}nnab 成等比數(shù)列； 若 {}na 是等比數(shù)列， 且公 比 1q?? ，則數(shù)列 2 3 2,n n n n nS S S S S?? ，?也是 等比數(shù)列。 如 設(shè)等比數(shù)列 {}na 中， 1 66naa?? ，21128naa? ? ，前 n 項(xiàng)和 nS ＝ 126，求 n 和公比 q . （答： 6n? ， 12q? 或 2） （ 3） 等比數(shù)列的前 n 和： 當(dāng) 1q? 時(shí)， 1nS na? ；當(dāng) 1q? 時(shí)， 1(1 )1nn aqS q?? ? 11 na a qq?? ? 。 （ 3）當(dāng) m n p q? ? ? 時(shí) ,則有 qpnm aaaa ??? ，特別地，當(dāng) 2m n p?? 時(shí)，則有2m n pa a a?? .如（ 1） 等差數(shù)列 {}na 中， 1 2 31 8 , 3 , 1n n n nS a a a S??? ? ? ? ?，則 n ＝ ____（答： 27）； （ 2） 在等差數(shù)列 ??na 中， 10 110, 0aa??，且 11 10||aa? ， nS 是其前 n 項(xiàng)和，則 A、 1 2 10,S S S 都小于 0， 11 12,SS 都大于 0 B、 1 2 19,S S S 都 小于 0， 20 21,SS都大于 0 C、 1 2 5,S S S 都小于 0， 67,SS 都大于 0 D、 1 2 20,S S S 都小于 0，21 22,SS 都大于 0 （答： B） (4) 若 {}na 、 {}nb 是等差數(shù)列，則 {}nka 、 {}nnka pb? ( k 、 p 是非零常數(shù) )、*{ }( , )p nqa p q N? ? 、 2 3 2,n n n n nS S S S S?? ，? 也成等差數(shù)列，而 {}naa 成等比數(shù)列 ； 若 {}na是等比數(shù)列，且 0na? ，則 {lg }na 是等差數(shù)列 . 如 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 25，前 2n 項(xiàng)和為 100，則它的前 3n 和為 。 如（ 1） 已知 *2 ()156n na n Nn???，則在數(shù)列 {}na 的最大項(xiàng)為 __（答： 125 ）； （ 2） 數(shù)列 }{na 的通項(xiàng)為 1??bnanan，其中 ba, 均為正數(shù)，則 na 與 1?na 的大小關(guān)系為 ___（答： na? 1?na ）； （ 3） 已知數(shù)列 {}na 中， 2na n n??? ，且 {}na 是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù) ? 的取值范圍（答： 3??? ）； （ 4） 一給定函數(shù) )(xfy? 的圖象在下列圖中，并且對任意 )1,0(1?a ，由關(guān)系式 )(1 nn afa ?? 得到的數(shù)列 }{na 滿足)( *1 Nnaa nn ??? ，則該函數(shù)的圖象是 （）（答： A） A B C D ： （ 1） 等差數(shù)列的判斷方法： 定義法 1 (nna a d d? ?? 為 常 數(shù) ）或 11( 2 )n n n na a a a n??? ? ? ?。（ 1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟： ① 審題――認(rèn)真讀題，確切理解題意，明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系； ② 建模 ――通過抽象概括，將實(shí)際 問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題， 別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域 ； ③ 解模――求解所得的數(shù)學(xué)問題； ④ 回歸――將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去 。 如（ 1） 作出函數(shù) 2| log ( 1) |yx??及 2log | 1|yx??的圖象； （ 2） 若函數(shù) )(xf 是定義在 R 上的奇函數(shù)，則函數(shù) )()()( xfxfxF ?? 的圖象關(guān)于 ____對稱 （答： y 軸 ） 提醒 ：（ 1）從結(jié)論 ②③④⑤⑥ 可看出，求對稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對稱問題；（ 2）證明函數(shù)圖像的對稱性，即 證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在圖像上；（ 3）證明圖像 1C 與 2C 的對稱性， 需證兩方面 ： ① 證明 1C 上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點(diǎn)仍在 2C 上； ② 證明 2