【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （ 1）具有奇偶性的函數(shù)的 定義域的特征： 定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ！為此 確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 如 若函數(shù) )(xf 2sin(3 )x ???， [2 5 , 3 ]x ? ? ??? 為奇函數(shù)，其中 )2,0( ??? ，則 ??? 的值是 （ 答： 0）； （ 2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性）： ① 定義法： 如 判斷函數(shù)2| 4 | 49xy x??? ? 的奇偶性 ____（答：奇函數(shù)）。 ② 利用 函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式： ( ) ( ) 0f x f x? ? ?或 ()1()fxfx? ??（ ( ) 0fx? ）。 如判斷 11( ) ( )2 1 2xf x x???的奇偶性 ___.（ 答： 偶函數(shù)） ③ 圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱 。 （ 3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)： ① 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反 . ② 如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù) . ③ 若 ()fx為 偶函數(shù)，則 ( ) ( ) (| |)f x f x f x? ? ?.如 若定義在 R 上的偶函數(shù) ()fx 在( ,0)?? 上是減函數(shù)，且 )31(f =2，則不等式 2)(log81 ?xf的解集為 ______.（答：(0, ) (2, )??） ④ 若奇函數(shù) ()fx定義域中含有 0，則必有 (0) 0f ? .故 (0) 0f ? 是 ()fx為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。 如 若 22() 21xxaafx ??? ?為奇函數(shù)，則 實(shí)數(shù) a ＝ ____（ 答： 1） . ⑤ 定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”。 如 設(shè) )(xf 是定義域?yàn)?R 的任一函數(shù)， ( ) ( )() 2f x f xFx ??? ， 8 ( ) ( )() 2f x f xGx ??? 。①判斷 )(xF 與 )(xG 的奇偶性； ②若將函數(shù) )110lg()( ?? xxf ，表示成一個(gè)奇函數(shù) )(xg 和一個(gè)偶函數(shù) )(xh 之和，則 )(xg ＝ ____（ 答： ① )(xF 為偶函數(shù)，)(xG 為奇函數(shù)；② )(xg ＝ 12x ） ⑥ 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“ 內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外 ” . ⑦ 既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（ ( ) 0fx? ，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集） . 。 （ 1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法： ① 在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號(hào)）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間 (, )ab內(nèi)，若總有 ( ) 0fx? ? ，則 ()fx為增函數(shù)；反之，若 ()fx在區(qū)間 (, )ab 內(nèi)為增函數(shù)，則( ) 0fx? ? ，請(qǐng) 注意兩者的區(qū)別 所在。 如 已知函數(shù) 3()f x x ax??在區(qū)間 [1, )?? 上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 ____(答： (0,3] ） )； ② 在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等， 特別要注意 (0by ax ax? ? ? 0)b? 型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為 ( , ],[ , )bbaa?? ? ??，減區(qū)間為[ , 0), (0, ]bbaa? .如（ 1） 若函數(shù) 2)1(2)( 2 ???? xaxxf 在區(qū)間（－∞， 4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ______(答： 3??a ） )； （ 2） 已知函數(shù) 1() 2axfx x ?? ? 在區(qū)間 ? ?2,? ?? 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 _____（答： 1( , )2?? ）； （ 3） 若函數(shù)? ? ? ?l og 4 0 , 1a af x x a ax??? ? ? ? ????? 且的值域?yàn)?R，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ______(答：04a?? 且 1a? ） )； ③ 復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是 同增異減 ， 如 函數(shù) ? ?212log 2y x x? ? ?的單調(diào)遞增區(qū)間是 ________(答：（ 1,2） )。 （ 2） 特別提醒： 求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域， 如 若函數(shù) 2( ) log ( 3 )af x x ax? ? ?在區(qū)間 ( , ]2a?? 上為減函數(shù)，求 a 的取值范圍（答： (1,2 3) ）；二是 在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號(hào) “ ” 和 “ 或 ” ；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用 集合或不等式 表示． （ 3）你注意到函數(shù) 單調(diào)性與奇偶性的逆用 了嗎 ?（①比較大??；②解不等式；③求參數(shù)范圍 ） .如 已知奇函數(shù) )(xf 是定義在 )2,2(? 上的減函數(shù) ,若 0)12()1( ???? mfmf ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。（答： 1223m? ? ? ） 11. 常見的圖象變換 ① 函數(shù) ? ?axfy ?? )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 的圖象沿 x 軸向左平移 a 個(gè)單位得到的。 如 設(shè) ( ) 2 , ( )xf x g x?? 的圖像與 ()fx的圖像關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱， ()hx 的圖像由 ()gx的圖像向右平移 1 個(gè)單位得到，則 ()hx 為 __________(答： 2( ) log ( 1)h x x? ? ?) ② 函數(shù) ? ?axfy ?? ( )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 的圖象沿 x 軸向右平移 a 個(gè)單位得到的。 如（ 1） 若 2( 1 9 9 ) 4 4 3f x x x? ? ? ?， 則函數(shù) ()fx的最小值為 ____(答： 2)； （ 2） 9 要得到 )3lg( xy ?? 的圖像，只需作 xy lg? 關(guān)于 _____軸對(duì)稱的圖像，再向 ____平移 3 個(gè)單位而得到 (答： y ；右 )； （ 3） 函數(shù) ( ) lg ( 2 ) 1f x x x? ? ? ?的圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有 ____個(gè) (答： 2) ③函數(shù) ? ?xfy? + a )0( ?a 的圖象是把 函數(shù) ? ?xfy? 助圖象沿 y 軸向上平移 a 個(gè)單位得到的； ④ 函數(shù) ? ?xfy? +a )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 助圖象沿 y 軸向下平移 a 個(gè)單位得到的； 如 將函數(shù) aax by ???的圖象向右平移 2 個(gè)單位后又向下平移 2 個(gè)單位 ,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱 ,那么 0,1)( ??? baA RbaB ??? ,1)( 0,1)( ?? baC RbaD ?? ,0)( (答： C) ⑤ 函數(shù) ? ?axfy? )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 的圖象沿 x 軸伸縮為原來的a1得到的。 如（ 1） 將函數(shù) ()y f x? 的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?13（縱坐標(biāo)不變），再將此圖像沿 x 軸方向向左平移 2 個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 _____(答： (3 6)fx? )；（ 2）如若 函數(shù) (2 1)y f x??是偶函數(shù)，則函數(shù) (2 )y f x? 的對(duì)稱軸方程是 _______(答： 12x?? )． ⑥ 函數(shù) ? ?xafy? )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 的圖象沿 y 軸伸縮為原來的 a 倍得到的 . 12. 函數(shù)的對(duì)稱性 。 ① 滿足條件 ? ? ? ?f x a f b x? ? ?的函數(shù)的圖象關(guān)于直線 2abx ?? 對(duì)稱。 如 已知二次函數(shù) )0()( 2 ??? abxaxxf 滿足條件 )3()5( ??? xfxf 且方程 xxf ?)( 有等根， 則 )(xf＝ _____(答： 212xx??)； ② 點(diǎn) (, )xy 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ( , )xy? ；函數(shù) ? ?xfy? 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱曲線方程為? ?xfy ?? ； ③ 點(diǎn) (, )xy 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) 為 ( , )xy? ；函數(shù) ? ?xfy? 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱曲線方程為? ?xfy ?? ； ④ 點(diǎn) (, )xy 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ( , )xy?? ；函數(shù) ? ?xfy? 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為? ?xfy ??? ； ⑤ 點(diǎn) (, )xy 關(guān)于直線 y x a?? ? 的對(duì)稱點(diǎn)為 ( ( ), )y a x a? ? ? ?；曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于直線 y x a?? ? 的對(duì)稱曲線的方程為 ( ( ), ) 0f y a x a? ? ? ? ?。特別地，點(diǎn) (, )xy 關(guān)于直線yx? 的對(duì)稱點(diǎn)為 (, )yx ；曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于直線 yx? 的對(duì)稱曲線的方程為 ( , )f yx 0? ；點(diǎn) ( , )xy 關(guān)于直線 yx?? 的對(duì)稱點(diǎn)為 ( , )yx?? ；曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于直線 yx?? 的對(duì)稱曲線的方程為 ( , ) 0f y x? ? ? 。 如 己知函數(shù) 33( ) , ( )2 3 2xf x xx???? ,若 )1( ?? xfy 的圖像是 1C ,它關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱圖像是 22,CC 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為 33, CC 則 對(duì)應(yīng)的 函數(shù)解析式是 ___________（答： 221xy x??? ? ）； ⑥ 曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于點(diǎn) (, )ab 的對(duì)稱曲線的方程為 (2 , 2 ) 0f a x b y? ? ?。 如 若函數(shù)xxy ?? 2 與 )(xgy? 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 2， 3）對(duì)稱，則 )(xg ＝ ______（答： 2 76xx? ? ? ） 10 ⑦ 形如 ( 0 , )a x by c a d b cc x d?? ? ?? 的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線 dx c?? (由分母為零確定 )和直線 ay c? (由分子、分母中 x 的系數(shù)確定 )，對(duì)稱中心是點(diǎn) ( , )dacc? 。如 已知函數(shù)圖象 C? 與 2: ( 1 ) 1C y x a a x a? ? ? ? ?關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱，且圖象 C? 關(guān)于點(diǎn)（ 2，－ 3）對(duì)稱，則 a 的值為 ______（答： 2） ⑧ | ( )|fx 的圖象先保留 ()fx原來在 x 軸上方的圖象，作出 x 軸下方的圖象關(guān)于 x 軸的對(duì)稱圖形，然后擦去 x 軸下方的圖象得到； (| |)fx的圖象先保留 ()fx在 y 軸右方的圖象，擦去 y 軸左方的圖象，然后作出 y 軸右方的圖象關(guān)于 y 軸的對(duì)稱圖形得到。 如（ 1） 作出函數(shù) 2| log ( 1) |yx??及 2log | 1|yx??的圖象； （ 2） 若函數(shù) )(xf 是定義在 R 上的奇函數(shù)，則函數(shù) )()()( xfxfxF ?? 的圖象關(guān)于 ____對(duì)稱 （答： y 軸 ） 提醒 ：（ 1）從結(jié)論 ②③④⑤⑥ 可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問題；（ 2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即 證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（ 3）證明圖像 1C 與 2C 的對(duì)稱性， 需證兩方面 ： ① 證明 1C 上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在 2C 上； ② 證明 2C 上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在 1C 上 。 如（ 1） 已知函數(shù) )(1)( Raxa axxf ?? ??? 。求證：函數(shù) )(xf的圖像關(guān)于點(diǎn) ( , 1)Ma? 成中心對(duì)稱圖形； （ 2） 設(shè)曲線 C 的方程是 xxy ?? 3 ,將 C 沿 x 軸 , y 軸正方向分別平行移動(dòng) ,ts單位長(zhǎng)度后得曲線 1C 。 ① 寫出曲線 1C 的方程 （答：3( ) ( )y x t x t s? ? ? ? ?） ； ② 證明曲線 C 與 1C 關(guān)于點(diǎn) ?????? 2,2 stA 對(duì)稱。 13. 函數(shù)的周期性 。 （ 1） 類比“三角函數(shù)圖像”得 ： ① 若 ()y f x? 圖像有兩條對(duì)稱軸 , ( )x a x b a b? ? ?，則 ()y f x? 必是周期函數(shù)，且一周期為 2| |T a b??； ② 若 ()y f x? 圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心 ( , 0 ), ( , 0 )( )A a B b a b?，則 ()y f x? 是周期函數(shù)，且一周期為 2| |T a b??； ③ 如果函數(shù) ()y f x? 的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心 ( ,0)Aa 和一條對(duì)稱軸 ()x b a b??，則函數(shù)()y f x? 必是周期函數(shù)，且一周期為 4| |T a b??； 如 已知定義在 R 上的函數(shù) ()fx是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程 ( ) 0fx? 在 [ 2,2]? 上至少有 __________個(gè) 實(shí)數(shù)根 （答： 5） （ 2） 由周期函數(shù)的定義 “函數(shù) ()fx滿足 ? ? ? ?xafxf ?? ( 0)a? ，則 ()fx是周期為 a的周期函數(shù)” 得 ： ① 函數(shù) ()fx滿足 ? ? ? ?xafxf ??? ，則 ()fx是 周期為 2a 的周期函數(shù)； ② 若 1( ) ( 0)()f x a afx? ? ?恒成立，則 2Ta? ； ③ 若 1( ) ( 0)()f x a afx? ? ? ?恒成立，則 2Ta? . 如 (1) 設(shè) )(xf 是 ),( ???? 上的奇函數(shù)， )()2( xfxf ??? ，當(dāng)