【正文】 再計(jì)算 , 當(dāng) y1 時(shí), ()Yf ()Yf 當(dāng) y≥ 1 時(shí), 11132()yyyYfxe??????? 可見(jiàn), , 所以隨機(jī)變量 X, Y 相互獨(dú)立()Xfx?40. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X ，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 ,(,)0xyxf??????????其 他 ，求邊緣概率密度 與 ，并判斷隨機(jī)變量 X 與 YXf()Yf是否相互獨(dú)立. 解 先計(jì)算 , 當(dāng) x0 或者 x1 時(shí), ()Xf ()0Xfx? 當(dāng) 1≥x≥0 時(shí), 1210()Xfydy???? 再計(jì)算 , 當(dāng) y0 或者 y1 時(shí), ()Yf ()Yf概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 26 頁(yè) (共 78 頁(yè)) 當(dāng) 1≥y≥0 時(shí), 1201()0Yfyxdyxy????? 由于 , 所以隨機(jī)變量 X,Y(,)Xfx?????????不獨(dú)立41. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X ，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 2,0(,)0xyefy????????其 他求隨機(jī)變量 Z＝X－2Y 的分布密度. 解 先求 Z 的分布函數(shù) F(z) :2())(2(,)DXYzFzPzfxyd??????當(dāng) z0 時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋篋={(x,y)|x0, y0, x?2y≤z} 求得 220()zyyded????241zzze??? 當(dāng) z≥0 時(shí)，積分區(qū)域?yàn)椋?D={(x,y)|x0, y0, x?2y≤z}， 20()zyxyFded????412zze???由此, 隨機(jī)變量 Z 的分布函數(shù)為 1,02()zzeF???????因此, 得 Z 的密度函數(shù)為： 1,02()zef????????42. 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 獨(dú)立，X～ ，Y 服從［－b，b］(b0) 上的均勻分布，求2()N???隨機(jī)變量 Z＝X＋Y 的分布密度. 解 解法一 由題意，0zxyzxyxyyx?2y=zx?2y=zzxyxy0zxyDyyDy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 27 頁(yè) (共 78 頁(yè))2()11()()(zyabXYFzfzyfdedb????????????令 則/,[,]att????21()2zba zbazbae? ????? ?????解法二 2()()),1()1()2112XYzbFzfxzdx,+xaedxbzzazbaabzb?????????????????????????????????????????????????zb????????43. 設(shè) X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，Y 服從12參數(shù)為 的指數(shù)分布，且 X 與 Y 獨(dú)立，求 Z＝X＋Y 的密13度函數(shù). 解 由題設(shè)，X~ , Y~120,()Xxfe????????130,()xfye????????并且，X， Y 相互獨(dú)立，則 ()()ZXFzfxzd???由于 僅在 x0 時(shí)有非零值， 僅當(dāng) z?x0，即 zx()Xfx Y時(shí)有非零值，所以當(dāng) z0 時(shí)， =0, 因此 =0. ()Xf ()Zf 當(dāng) z0 時(shí)，有 0zx, 因此1132()0()zzxxZFed???1632zzxe??44. 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X 0 1 2 3概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 28 頁(yè) (共 78 頁(yè)) Y0 0 1 2 求：（1）Z＝X ＋Y 的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y ）的分布律. 解 (1) X+Y 的可能取值為：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = Z=X+Y 的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5p 0 同理，U=max(X,Y) 的分布如下 U∈{0,1,2,3}U 0 1 2 3p 0 同理，V=min(X,Y) 的分布分別如下 V∈{0,1,2}V 0 1 2p 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 29 頁(yè) (共 78 頁(yè))第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1. 隨機(jī)變量 X 的分布列為 X －1 0 1 22 P 3616 14求 E(X)，E(－X＋1)，E(X 2)解 1111362243()0E???????112366243()()()()()??????或者 13EX222222351113664()X2. 一批零件中有 9 件合格品與三件廢品，安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任取一件，如果取出的廢品不再放回，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 解 設(shè)取得合格品之前已經(jīng)取出的廢品數(shù)為 X, X 的取值為0, 1, 2, 3, Ak 表示取出廢品數(shù)為 k 的事件， 則有：13920(),236()??????3. 已知離散型隨機(jī)變量 X 的可能取值為－0、1，E(X)＝，E(X 2)＝，求 P(X=?1)，P(X＝0)，P(X＝1).解 根據(jù)題意得： 2222()1()0()1()?????? 可以解得 P(X??1)=, P(X=1)=, 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 30 頁(yè) (共 78 頁(yè))P(X=0) = 1? P(X??1)?? P(X=1) = 1??=4. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 2(1),)xf????????????其 他 .求 E(X).解 由題意, , 101()()2()3EXxfdxd???????5. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 ,0()xef????????????求 E(2X)，E( ).2xe?解 0(2)()xEXfded????????????0|2|2x xe????22300()()1|Xxxefed????????6. 對(duì)球的直徑作近似測(cè)量，其值均勻分布在區(qū)間［a，b］上，求球的體積的數(shù)學(xué)期望. 解 由題意，球的直接 D~U(a,b), 球的體積 V= ??342D? 因此，341()()2baxEVfxdda?????????????420|())2()b???7. 設(shè)隨機(jī)變量 X，Y 的密度函數(shù)分別為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 31 頁(yè) (共 78 頁(yè))2,0()xXef????????????4,()yYf??????求 E(X＋Y)，E(2X－3Y 2). 解 ()()EXYE??2400(()134XYxyfdfdee?????????2222400(3)()()()3518XYxyEXYEfdfdee?????????8. 設(shè)隨機(jī)函數(shù) X 和 Y 相互獨(dú)立，其密度函數(shù)為 2,1()Xxf??????????其 他5,() yYef????????（ － ）求 E(XY).解 由于 XY 相互獨(dú)立 , 因此有 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 32 頁(yè) (共 78 頁(yè))??12(5)05()(5)(5)()( ()32025(1)(6)433XYyyyyEXYxfdfyxdee????????????? ?? ?????????????9. 設(shè)隨機(jī)函數(shù) X 的密度為 21,()fxx??????????????.求 E(X), D(X).解 12()()0xEXxfdd?????????211222022 2022()arcsin|42xf dxxd? ?????????? ??22())DXEX10. 設(shè)隨機(jī)函數(shù) X 服從瑞利 (Rayleigh)分布, 其密度函數(shù)為 2,0()xefx???????????????其中 σ0 是常數(shù)，求 E(X)，D(X).解 2 200()()x xEXxfdede????????????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 33 頁(yè) (共 78 頁(yè)) 222200/0xxxuuxeeded??????????????????????? ? ? ????:222222 32022220()()0x xx x xxuuuEXfdedeedde??????? ???????????????????? ? ? ?????22 2())() ()DXEX???????????:11. 拋擲 12 顆骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望與方差. 解 擲 1 顆骰子，點(diǎn)數(shù)的期望和方差分別為： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6因此 D(X) = E(X2)?(E(X)) 2 = 35/12 擲 12 顆骰子, 每一顆骰子都是相互獨(dú)立的, 因此有： E(X1+X2+…+X12)=12E(X) = 42 D(X1+X2+…+X12) =D(X1)+D(X2)+…+D(X12)=12D(X)=3512. 將 n 只球（1～n 號(hào)）隨機(jī)地放進(jìn) n 只盒子（1～n 號(hào)）中去，一只盒子裝一只球，將一只球裝入與球同號(hào)碼的盒子中，稱(chēng)為一個(gè)配對(duì)，記 X 為配對(duì)的個(gè)數(shù)，求 E(X), D(X).解 （ 1）直接求 X 的分布律有些困難，我們引進(jìn)新的隨機(jī)變量 Xk , 則有：,0k????第 只 球 裝 入 第 號(hào) 盒 子第 只 球 沒(méi) 裝 入 第 號(hào) 盒 子，X k 服 01 分布1nk??因此： 11(),(),k kPpPXpnn???概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 34 頁(yè) (共 78 頁(yè)) ??11(),()1kknnkkEXpDXEn??????????????????（2） 服從 01 分布，則有kj 1(1) ()()(,kj kjnnPXXX??1)nkD?????????1222(,)()1()11kjkjn kjkjkkjkjnCovEXEXnCn??????????????????????????????故，E(X)=D(X)=1.我們知道，泊松分布具有期望與方差相等的性質(zhì)，可以認(rèn)定，X 服從參數(shù)為 1 的泊松分布. 13. 在長(zhǎng)為 l 的線(xiàn)段上任意選取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間距離的數(shù)學(xué)期望及方差. 解 設(shè)所取的兩點(diǎn)為 X,Y, 則 X,Y 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量, 其密度函數(shù)為 11,0,0(),(),XYxxffyllotherother????????????2,(,)()0Y yfxyfltr?依題意有 ()(,)EXYxyfdxy?????????220221lxlxydll???22l l x?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 35 頁(yè) (共 78 頁(yè))3223211006l lxlxl???????????????? 6??22()(,)EXYxyfdxy????201lxydl???2232022ll ylxydx?????????23322106lllxlxl?????????? D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 = 221698ll??14. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從均勻分布，其密度函數(shù)為 12,()2xfx???????????其 他 ,求 E(2X2)，D(2X 2). 解 1220(()()6EXxfdx???????1244420) ,()8xfdEX??? ????222 1(()()()4845DEX????????15. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差為 ，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)概率 ()?? 的值. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第三章 第 36 頁(yè) (共 78 頁(yè))解 由切比雪夫不等式, 取 , ,.??? .2.()???16. 在每次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的概率為，如果作 100 次獨(dú)立試驗(yàn)，設(shè)事件 A 發(fā)生的次數(shù)為X，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì) X 在 40 到 60 之間取值的概率解 由題意，X~B(100，), 則 E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根據(jù)切比雪夫不等式, 有(405)PX?21?????.230417. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的一切可能值在區(qū)間［a ， b］內(nèi)，其密度函數(shù)為 ，證明：()fx（1）a≤E(X)≤b；（2） .D(X?2a)4解 (1) 由題意，a≤X≤b, 那么 則()(),Exfdaxb??????()f fd? ??? ??