橢圓中的定點定值問題-wenkub
2023-04-09 04:50:30 本頁面
【正文】 即y=，∴直線PM經(jīng)過定點T（0，）．解：（2）橢圓C的中心到右準線的距離d=，由=1，得，∴==，令t=a2﹣5，t＞0，則=t++9≥2+9=4+9，當且僅當t=2，時，等號成立，∴橢圓C的中心到右準線的距離的最小值為．6．已知橢圓的右焦點到直線的距離為，離心率，是橢圓上的兩動點，動點滿足，（其中為常數(shù)）．（1）求橢圓標準方程；（2）當且直線與斜率均存在時，求的最小值；（3）若是線段的中點，且，問是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點，使得動點滿足，若存在，求出的值和定點；若不存在，請說明理由．解：（1）由題設可知：右焦點到直線的距離為： ， 又，∴．∴橢圓標準方程為．（2）設則由得．∴．由得，當且僅當時取等號（3）．∴．∴．設，則由，得，即．因為點、在橢圓上，所以．所以．即，所以點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為，則由橢圓的定義得，∴，．7．已知橢圓的右焦點為F2（1，0），點在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）點在圓上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由．解：（1）右焦點為，左焦點為，點在橢圓上，所以橢圓方程為（2）設 ，連接OM，OP，由相切條件知，同理可求所以為定值．8．分別過橢圓E：=1（a＞b＞0）左、右焦點FF2的動直線ll2相交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為kkkk4，且滿足k1+k2=k3+k4，已知當l1與x軸重合時，|AB|=2，|CD|=．（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在定點M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點坐標，若不存在，說明理由．解：（1）當l1與x軸重合時，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l(xiāng)2垂直于x軸，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴橢圓E的方程為．（2）焦點FF2坐標分別為（﹣1，0），（1，0），當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0），當直線l1，l2斜率存在時，設斜率分別為m1，m2，設A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由題意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，設P（x，y），則，即，x≠177。當直線l的斜率不存在時，A（1，），B（1，），由于（）橢圓中的定點定值問題1．已知橢圓C：（）的右焦點為F（1，0），且（，）在橢圓C上。（）=，所以， 下面證明時，恒成立。1，由當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0）也滿足，∴點P（x，y）點在橢圓上，∴存在點M，N其坐標分別為（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1，設R（x0，y0）是橢圓C上的任一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q．（1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0；（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．解：（1）由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑，因為直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，所以，即，①又點R在橢圓C上，所以，②聯(lián)立①②，解得所以所求圓R的方程為．（2）因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，所以，化簡得=0同理，所以k1，k2是方程（
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