導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類-wenkub
2023-04-09 00:40:58 本頁面
【正文】 成立．②當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4，對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4]．題型五：二階導(dǎo)主要用于求函數(shù)的取值范圍23．(12分)已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（II）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，求a的取值范圍．【解答】解：（I）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即點(diǎn)為（1，0），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+（x+1）?﹣4，則f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函數(shù)的切線斜率k=f′（1）=﹣2，則曲線y=f（x）在（1，0）處的切線方程為y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0， ∴f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（1）=0，滿足題意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函數(shù)f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合題意．綜上所述，a≤2．23．(12分)已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（II）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，求a的取值范圍．【解答】解：（I）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即點(diǎn)為（1，0），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+（x+1）?﹣4，則f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函數(shù)的切線斜率k=f′（1）=﹣2，則曲線y=f（x）在（1，0）處的切線方程為y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0， ∴f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（1）=0，滿足題意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函數(shù)f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合題意．綜上所述，a≤2．題型六：求含參數(shù)求知范圍此類問題一般分為兩類：一、也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，若題中涉及多個(gè)未知參量需分離出具有明確定義域的參量函數(shù)求出取值范圍并進(jìn)行消參，由多參數(shù)降為單參在求出參數(shù)取值范圍。x2＝1，x1＋x2＝－a，∴x2＝，從而有a＝－x1－.令H(x)＝h(x)－h(huán)＝x－＋lnx－＝2，H′(x)＝2lnx＝.當(dāng)x∈時(shí)，H′(x)0，∴H(x)在上單調(diào)遞減，又H(x1)＝h(x1)－h(huán)＝h(x1)－h(huán)(x2)，∴[h(x1)－h(huán)(x2)]min＝H＝5ln2－3.[解題反思] 本例(1)中求F(x)的單調(diào)區(qū)間，需先求出F(x)的定義域，同時(shí)在解不等式F′(x)0時(shí)需根據(jù)方程x2－ax＋1＝0的根的情況求出不等式的解集，故以判別式“Δ”的取值作為分類討論的依據(jù)．在(2)中求出h(x1)－h(huán)(x2)的最小值，需先求出其解析式．由題可知x1，x2是h′(x)＝0的兩根，可得到x1x2＝1，x1＋x2＝－a，從而將h(x1)－h(huán)(x2)只用一個(gè)變量x1導(dǎo)出．從而得到H(x1)＝h(x1)－h(huán)，這樣將所求問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)H(x)＝h(x)－h(huán)在上的最值問題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)為與化歸數(shù)學(xué)思想．[答題模板] 解決這類問題的答題模板如下： [題型專練]1．設(shè)函數(shù)f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)0a2時(shí)，求函數(shù)g(x)＝f(x)－x2－ax－1在區(qū)間[0,3]上的最小值．[解] (1)f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)．∵f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)，x∈(－1，＋∞)，∴f′(x)＝2(1＋x)－＝.由f′(x)0，得x0；由f′(x)0，得－1x0.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)．(2)由
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