【正文】 于A，若AC＝3，AD＝1， 求AB的長.解：如圖，連接BP、CP，則BP＝CP，B＝C 過點P作PEAB于點E，又PDCD ∴BEP＝CDP ∴△BEP≌△CDP（AAS） ∴BE＝CD＝3+1＝4，PE＝PD 連接AP，則Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），則AE＝AD＝1 ∴AB＝AE+BE＝5如圖，AB是O的直徑，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB＝10，MN＝8. 求BF－AE的值.解：∵AEMN，BFMN，則AE∥BF，∴A＝B如圖，延長EO交BF于點G，則AOE＝BOG，AO＝BO ∴△AOE≌△BOG（AAS），則OE＝OG 過點O作OHMN，F(xiàn)G＝2OH，HN＝4 連接ON，則ON＝5，OH＝，則BG－AE＝FG＝6.圓的培優(yōu)專題4——圓與勾股定理如圖，⊙O是△BCN的外接圓，弦ACBC，點N是的中點，BNC＝， 求 的值.解：如圖，連接AB，則AB為直徑，∴BNA＝90 連接AN，則BN＝AN，則△ABN是等腰直角三角形∴BN＝AB；又BAC＝BNC＝，∴BC＝AB， ∴＝ （方法2，過點B作BDCN，即可求解）如圖，⊙O的弦ACBD，且AC＝BD，若AD＝，求⊙O半徑.解：如圖，作直徑AE，連接DE，則ADE＝90 又ACBD，則ADB＋DAC＝ADB＋EDB＝90 ∴DAC＝EDB，則，∴， ∵ AC＝BD，∴，則 ∴AD＝DE，即△ADE是等腰直角三角形 ∴AE＝AD＝4，即⊙O的半徑為2如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為CB延長線上一點，且CAD＝， CEAB于點E，DFAB于點F. （1）求證：CE＝EF；（2）若DF＝2，EF＝4，求AC.（1）證：∵ AB為⊙O的直徑，CAD＝， 則△ACD是等腰直角三角形，即AC＝DC 又CEAB，則CAE＝ECB 如圖，過點C作CG垂直DF的延長線于點G 又CEAB，DFAB，則四邊形CEFG是矩形，AEC＝DGC＝90 ∴EF＝CG，CE∥DG，則ECB＝CDG＝CAE ∴△ACE≌△DCG（AAS），則CE＝CG＝EF（2）略解：AC＝CD＝.如圖，AB為⊙O的直徑，CDAB于點D，CD交AE于點F，. （1）求證：AF＝CF； （2）若⊙O的半徑為5，AE＝8，求EF的長（1）證：如圖，延長CD交⊙O于點G，連接AC ∵直徑ABCG，則 ∴CAE＝ACG，則AF＝CF（2）解：如圖，連接OC交AE于點H，則OCAE，EH＝AH＝AE=4 ∴ OH＝，則CH＝5－3＝2 設HF＝，則CF＝AF＝4－ 則，∴，即HF＝ ∴EF＝如圖，在⊙O中，直徑CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，連接AD. （1）求證：AD＝AN； （2）若AB＝，ON＝1，求⊙O的半徑.（1）證：∵CDAB，AMBC ∴C＋CNM＝C＋B＝90 ∴B＝CNM， 又B＝D，AND＝CNM ∴D＝AND，即AD＝AN（2） 解：∵直徑CD弦AB，則AE＝ 又AN＝AD，則NE＝ED 如圖，連接OA，設OE＝，則NE＝ED＝ ∴OA＝OD＝ ∴，則 ∴⊙O的半徑OA＝3圓的培優(yōu)專題5——圓中兩垂直弦的問題在⊙O中，弦ABCD于E，求證：AOD＋BOC＝.證：如圖，連接AC， ∵ABCD，則CAB＋ACD＝90 又AOD＝2ACD，BOC＝2BAC ∴AOD＋BOC＝.在⊙O中，弦ABCD于點E，若⊙O的半徑為R，求證：AC2＋BD2＝4R2.證：∵ABCD，則CAB＋ACD＝90 如圖，作直徑AM，連接CM 則ACM＝ACD＋DCM＝90∴CAB＝DCM，∴∴，∴CM＝BD ∵AC2＋CM2＝AM2 ∴AC2＋BD2＝4R2.在⊙O中，弦ABCD于點E，若點M為AC的中點，求證MEBD.證：如圖，連接ME，并延長交BD于點F ∵ABCD，且點M為AC的中點 ∴ME為Rt△AEC斜邊上的中線 ∴AM＝ME ∴A＝AEM＝BEF 又B＝C，A＋C＝90 ∴BEF＋B＝90，即BFE＝90 ∴MEBD.在⊙O中，弦ABCD于點E，若ONBD于N，求證：ON＝AC.證：如圖，作直徑BF，連接DF， 則DFBD，又ONBD， ∴ON∥FD，又OB＝OF ∴ON＝DF 連接AF，則AFAB，又CDAB ∴AF∥CD ∴，則AC＝FD ∴ON＝AC在⊙O中，弦ABCD于點E，若AC＝BD，ONBD于N，OMAC于M. （1）求證：MEON； （2）求證：四邊形OMEN為菱形.證：（1）如圖，延長ME交OD于點F ∵OMAC，則點M為AC的中點 ∵ ABCD，則ME為Rt△ACE的斜邊上中線 ∴AM＝EM， ∴A＝AEM＝BEF 又B＝C，A＋C＝90 ∴B＋BEF＝90，則BFE＝90 ∴MFBD，又ONBD ∴MF∥ON （2）由（1）知MF∥ON，同理可證OM∥NE， ∴四邊形OMEN是平行四邊形 ∵AC＝BD，∴OM＝ON ∴四邊形OMEN為菱形.圓的培優(yōu)專題6——圓與內角（外角）平分線一 圓與內角平分線問題往往與線段和有關，實質是對角互補的基本圖形如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD平分ACB，ACB＝. 求證：CA＋CB＝CD.證：如圖，在CA的延長線上截取AE＝BC，連DE，AD，BD ∵CD平分ACB，∴AD＝BD 又DAE＝DBC，AE＝BC ∴△DAE≌△DBC（SAS） ∴CD＝DE，又ACD＝45 ∴△CDE是等腰直角三角形，則CA＋CB＝CE＝CD.如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD平分ACB，ACB＝，求的值.解：如圖，在CA的延長線上截取AE＝BC，連DE，AD，BD ∵CD平分ACB，∴AD＝BD 又DAE＝DBC，AE＝BC ∴△DAE≌△DBC（SAS） ∴CD＝DE，又ACD＝60 ∴△CDE是等邊三角形 ∴CD＝CE＝CA＋BC，即＝1如圖，過O、M的動圓⊙交軸、軸于點A、B，求OA＋OB的值.解：如圖，過點M作ME軸，MF軸，連AM、BM 由M（1，1）知：四邊形OFME是正方形 ∴OE＝OF＝4，EM＝FM，又MBF＝MAE， ∴△AEM≌△BFM（AAS），則AE＝BF ∴OA＋OB＝AE＋OE＋OF－BF＝8.二 圓中的外角問題往往與線段的差有關如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝. 求證：（1）；（2）AC－BC＝PC.證：（1）如圖，連接AP，則PCQ＝PAB 又PCQ＝PCA，則PAB＝PCA ∴ （2）連接BP，由（1）得，PA＝PB 在AC上截取AD＝BC，連PD，又PAD＝PBC ∴△PAD≌△PBC（SAS），則PD＝PC 又PCD＝45，則∴PCD是等腰直角三角形，∴AC－BC＝CD＝PC.如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CP平分△ABC的外角ACQ，ACB＝. 求的值.解：如圖，在BC上截取BD＝AC，連AP、BP、DP ∵PCB＝PCQ＝PBA ∴AP＝BP，又CAP＝DBP ∴△CAP≌△DBP（SAS），則CP＝DP 又ACB＝120，∴PCD＝30， ∴＝ ＝如圖，A，B，⊙經(jīng)過A、B、O三點，點 這P為上動點（異于O、A）. 求的值.解：如圖，在BP上截