參數(shù)估計習(xí)題解答-wenkub
2023-04-08 23:27:16 本頁面
【正文】 ,有nn1個2則其似然函數(shù)為(忽略常數(shù))對數(shù)似然函數(shù)為將對數(shù)似然函數(shù)關(guān)于p求導(dǎo)并令其為0得到似然方程解之得后一個等式是由于所以,代入上式即得.12．已知在文學(xué)家簫伯納的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism 一書中,一個句子的單詞數(shù)X近似地服從對數(shù)正態(tài)分布,這些句子中的單詞數(shù)分別為52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30求該書中一個句子單詞數(shù)均值的最大似然估計.解：由于最大似然估計具有不變性,因而的最大似然估計為13．設(shè)是來自對數(shù)級數(shù)分布的一個樣本,求參數(shù)p的矩估計.解：由于,因此有,從而得到p的矩估計.14．一個罐子里裝有黑球個百球,有放回地抽取一個容量為n的樣本,其中 有k個百球,求罐子里黑球和白球數(shù)之比R的最大似然估計.解法1：記p為罐子中白球的比例,令表示第i次有放回抽樣所得的白球數(shù),則故p的最大似然估計為.,有,對具體的樣本值即n個抽到k個白球來講,R的最大似然估計為.解法2：設(shè)罐子里有白球個,則有黑球R個,從而罐子中共有(1+R)個球,從中有放回的抽一個球為白球的概率為從罐子中有放回的抽 n個球,可視為從二點分布X0(黑球)1(白球)p,似然函數(shù)為 L(R)=,其對數(shù)似然函數(shù)為lnL(R)=(nk)lnRnln(1+R),將對數(shù)似然函數(shù)對R求導(dǎo),并令其為0,得似然方程解之可得R=.由于其對數(shù)似然函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為,所以R=是R的最大似然估計.譬如,在n=10,k=2場合,R的最大似然估計R=,即罐中黑球數(shù)與白球數(shù)之比的最大似然估計為4,若白球1個,黑球為4個；或者白球2個,黑球8個等.()和N().解：合樣本的似然函數(shù)為L=,對數(shù)似然函數(shù)為lnL=.將對數(shù)似然函數(shù)對分別求導(dǎo)并令其為0,得, ,由此得到的最大似然估計為.16．某批產(chǎn)品含有N件,其中M件為不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取n件中有x 件不合格品,則x服從超幾何分布,即, 假如N與n已知,尋求該批產(chǎn)品中不合格品數(shù)M的最大似然估計.解：記未知參數(shù)M的似然函數(shù)L(M,x)=P(X=x).考察似然比由要使似然比得 ，必然導(dǎo)致 (M+1)(NMn+x)(M+1x)(NM)化簡此式可得,這表明：當(dāng)為整數(shù)和時似然函數(shù)L(M,x)是M的增函數(shù),即 (**)類似地,要使似然比,當(dāng) 為整數(shù)且時,似然函數(shù)L(M,x)是M的減函數(shù),即 (**)比較(*)和(* *)可知,當(dāng)是整數(shù)時,M的最大似然估計為或+1,而當(dāng)不為整數(shù)時,M的最大似然估計為,其中[a]為不超過a的最大整數(shù),綜合上述,M的最大似然估計為譬如,在N=19,n=15,x=2場合.=,由于為整數(shù),幾個L(M,2)=(x=2)如下表所示：M678910L(M,2)可見M取7或8可使似然函數(shù)達(dá)到最大.又如,在N=16,n=5,x=2場合,=(N+1)1=180。 任一參數(shù)的UNVUE不一定存在,若存在,則它一定是充分統(tǒng)計量的函數(shù)；216。 總體信息，總體分布和總體所屬分布族提供的信息；216。 二項分布B(n,q )中成功概率q 的共軛先驗分布是貝塔分布Be(a,b)。 在方差已知時,正態(tài)總體均值q 的共軛先驗分布正態(tài)分布N(m,t2)。 區(qū)間估計內(nèi)容概要 1. 置信區(qū)間 設(shè)q 是總體的一個參數(shù),其參數(shù)空間為Q, x1,x2,…,xn是來自該總體的樣本,對給定一個a(0a1),若有兩個統(tǒng)計量,使得對任意的q206。G163。d等價變形為則有為θ的1α同等置信區(qū)間. 關(guān)于置信區(qū)間的構(gòu)造有兩點說明l 滿足置信度要求的c,d通常不唯一,若有可能,應(yīng)選平均長度達(dá)到最短的c,d,這在G的分布為對稱分布的場合往往容易實現(xiàn).l 實際中,選平均長度盡可能短的c,d往往很難實現(xiàn),因此通常這樣選擇c,d,是的兩個尾部概率各為a/2,即P(Gc)=P(Gd)=a/2,.5常用的置信區(qū)間(1).設(shè)x1,x2,…,xn是來自的樣本,為均值,s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差,up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù),為自由度是 k的t分布 為自由度是 k的c2分布的p分位數(shù),取置信水平為1a，則m,s2,s的置信區(qū)間如下表所示參數(shù)樞軸量置信區(qū)間ms已知s未知s2m已知m未知sm已知m未知(1).設(shè)x1,x2,…,xm是來自的樣本,為均值,sx為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。l 若能將不等式c163。Θ,有則稱為θ的1α同等置信區(qū)間..3．置信限 在上述記號下,若給定的α(0α1),和任意的θ206。 在均值已知時,正態(tài)總體方差s2的共軛先驗分布倒伽馬分布IGa(a,l)(若X~ Ga(a,l),則X1的分布稱為倒伽馬分布IGa(a,l)。 泊松分布P(q )的均值q 的共軛先驗分布是伽馬分布Ga(a,l)。 先驗信息，在實驗前人們對要做的問題在經(jīng)驗上和資料上所占用的信息.2. 貝葉斯統(tǒng)計的基本觀點 任意一個未知量 q 都可看作一個隨機變量，用一個概率分布來描述未知參數(shù)是最好的辦法，這個分布稱為先驗分布.3. 貝葉斯公式的密度函數(shù)形式l 總體分布依賴于參數(shù)q的概率函數(shù)在貝葉斯統(tǒng)計中記為 p(x|q),他表示在隨機變量q 取某個給定的值時總體的條件概率函數(shù)；l 根據(jù)參數(shù)q 的先驗信息可確定先驗分布p (q )。 考慮的估計時,只需要在其充分估計量的函數(shù)中尋找即可,.4．費希爾信息量 設(shè)總體的概率函數(shù)滿足下列條件：(1) 參數(shù)空間是直線上的一個開去區(qū)間；(2) 支撐與無關(guān)；(3) 導(dǎo)數(shù)對一切都存在；(4) 對,積分與微分運算可交換次序,即(5) 期望存在,則稱該期望為總體分布的費希爾(Fisher)信息量.如果二階導(dǎo)數(shù)對一切都存在,則還可用下式計算5．常用分布的費希爾信息量二點分布b(1,p)的費希爾信息量；泊松分布的費希爾信息量；指數(shù)分布的費希爾信息量；正態(tài)分布的費希爾信息量；正態(tài)分布的費希爾信息量；正態(tài)分布的費希爾信息量(信息矩陣).6．C—R不等式設(shè)是未知參數(shù)的一個無偏估計,若存在,則在費希爾信息量也存在的條件下有上式稱為克拉美羅(C—R)不等式,稱為的無偏估計的方差的C—R下界,對的無偏估計,有.注：.1．設(shè)總體概率函數(shù)是是其樣本,是的充分統(tǒng)計量,則對的任一估計令證明這說明,在均方誤差準(zhǔn)則下,人們只需考慮基于充分統(tǒng)計量的估計.證：我們將均方誤差作如下分解注意到,這說明于是因而,證明：對任意的(非零)常數(shù)是的UMVUE.證：由于
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