函數(shù)零點(diǎn)易錯(cuò)題、三角函數(shù)重難點(diǎn)教師版-wenkub
2023-04-08 12:18:49 本頁(yè)面
【正文】 例３．判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)．錯(cuò)解：因?yàn)?，所以，函?shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．錯(cuò)解剖析：上述做法錯(cuò)誤地用了函數(shù)零點(diǎn)判定定理，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的函數(shù)圖像是連續(xù)曲線，且，也可能在內(nèi)有零點(diǎn)．如函數(shù)在區(qū)間上有，但在內(nèi)有零點(diǎn)．正解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)． 法二：由得，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．點(diǎn)撥：對(duì)有些函數(shù)，即使它的圖象是連續(xù)不斷的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值也不一定變號(hào)．如函數(shù)有零點(diǎn)１，（如上圖）但函數(shù)值沒(méi)變號(hào)．對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的判定一定要抓住兩點(diǎn)：①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)曲線，②在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即．4． 因忽略區(qū)間端點(diǎn)而致誤例４．已知二次函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．錯(cuò)解：由函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì)得，即，解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．錯(cuò)解剖析：錯(cuò)解的原因是只注意到函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，而忽略問(wèn)題的其它形式：①在上有二重根；②終點(diǎn)的函數(shù)值可能為０．正解：⑴當(dāng)方程在上有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)， 且，此時(shí)無(wú)解． ?、飘?dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，① 有且只有一根在上時(shí)，有，即，解得②當(dāng)時(shí)，＝０，解得，合題意．③當(dāng)時(shí)，方程可化為，解得合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．點(diǎn)撥：在求參數(shù)時(shí)，要注意將函數(shù)零點(diǎn)的特殊性質(zhì)與函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)相結(jié)合，進(jìn)行分類討論使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化． 本文已在《學(xué)苑新報(bào)》上發(fā)表方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1．函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）A、 B、 C、 D、不存在2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A、0 B、1 C、2 D、33. 函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) .∵，.∴ ，即函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3). 所以選B.4. 求證方程在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)數(shù)根.4. 證明：設(shè)函數(shù). 由函數(shù)的單調(diào)性定義，可以證出函數(shù)在是減函數(shù).而，即，說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，且只有一個(gè). 所以方程在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)數(shù)根.點(diǎn)評(píng)：等價(jià)轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)解題中處理問(wèn)題的一種重要思想，它是將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程正是這樣一種逐步的轉(zhuǎn)化. 此題可變式為研究方程的實(shí)根個(gè)數(shù).5. （1）若方程在內(nèi)恰有一解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .（2）已知函數(shù)，若在上存在，使，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .5. 解：（1）設(shè)函數(shù)，由題意可知，函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn). ∴ ， 解得. （2）∵在上存在，使， 則，∴ ，解得. 所以， 實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6. 已知關(guān)于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的兩個(gè)不等實(shí)根都在區(qū)間（0，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．6. 解：令有圖像特征可知方程f（x）=0的兩根都在（0，2）內(nèi)需滿足的條件是解得。例2．已知函數(shù)．，且． （1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)的值．分析：待定系數(shù)求，；然后用倍角公式和降冪公式轉(zhuǎn)化問(wèn)題．解析：函數(shù)可化為． （1）由，可得，所以，． （2），故當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最大值為．點(diǎn)評(píng)：結(jié)論是三角函數(shù)中的一個(gè)重要公式，它在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡(jiǎn)求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問(wèn)題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容．題型2 三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考所重點(diǎn)考查的問(wèn)題之一．例3．（2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第8題）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．
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