函數(shù)零點(diǎn)易錯題、三角函數(shù)重難點(diǎn)教師版(存儲版)
【正文】 圖所示，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，與軸的交點(diǎn)為．由題設(shè)有， ，所以過點(diǎn)的直線的斜率，直線的方程為．又點(diǎn)到直線的距離，所以船會進(jìn)入警戒水域．解法二： 如圖所示，設(shè)直線與的延長線相交于點(diǎn)．在中，由余弦定理得，==．從而在中，由正弦定理得，．由于，所以點(diǎn)位于點(diǎn)和點(diǎn)之間，且．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為點(diǎn)到直線的距離．在中，所以船會進(jìn)入警戒水域．點(diǎn)評：本題以教材上所常用的航海問題為背景，考查利用正余弦定理解決實(shí)際問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)方位畫出正確的解題圖． 本題容易出現(xiàn)兩個方面的錯誤，一是對方位角的認(rèn)識模糊，畫圖錯誤；二是由于運(yùn)算相對繁瑣，在運(yùn)算上出錯．題型5 三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量問題，更多的時候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問題才是考查的重點(diǎn)．例8（2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測理科第18題）已知向量，（），令，且的周期為．(1) 求的值；(2)寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間．分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)的解析式求出來，再根據(jù)的周期為就可以具體確定這個函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識解決即可．解析：(1) ，∵的周期為． ∴， ， ． (2) 由于，當(dāng)（）時，單增， 即（），∵∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．點(diǎn)評：本題以平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì)，這是近年來高考命題的一個熱點(diǎn)．例9 （2009江蘇泰州期末15題）已知向量，且． （1）求的值；（2）求的值．分析：根據(jù)兩個平面向量垂直的條件將問題轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)的等式，通過這個等式探究第一問的答案，第一問解決后，借助于這個結(jié)果解決第二問．解析：（1）∵，∴．而，故，由于，∴，解得，或．∵，故（舍去）．∴．（2）∵，∴．由，求得，（舍去）．∴， ． 點(diǎn)評：本題以向量的垂直為依托，實(shí)質(zhì)上考查的是三角恒等變換．在解題要注意角的范圍對解題結(jié)果的影響．題型6 三角形中的三角恒等變換：這是一類重要的恒等變換，其中心點(diǎn)是三角形的內(nèi)角和是，有的時候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化，然后在利用三角變換的公式進(jìn)行恒等變換，是近年來高考的一個熱點(diǎn)題型．例10．（安徽省皖南八校2009屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)17題）三角形的三內(nèi)角，所對邊的長分別為，設(shè)向量，若，（1）求角的大??；（2）求的取值范圍．分析：根據(jù)兩個平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理解決第一問，第一問解決后，第二問中的角就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其中的一個表達(dá)另一個，就把所要解決的問題歸結(jié)為一個角的三角函數(shù)問題．解析：（1）， ． 由余弦定理，得． （2）， 點(diǎn)評：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實(shí)質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對結(jié)果的影響．題型7 用平面向量解決平面圖形中的問題：由于平面向量既有數(shù)的特征（能進(jìn)行類似數(shù)的運(yùn)算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解決平面圖形中的問題就是必然的了，這在近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)．考試大綱明確指出用會用平面向量解決平面幾何問題．例11. 如圖，已知點(diǎn) 是的重心，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且過 的重心，試證明為常數(shù)，并求出這個常數(shù)．分析：根據(jù)兩向量共線的充要條件和平面向量基本定理，把題目中需要的向量用基向量表達(dá)出來，本題的本質(zhì)是點(diǎn)共線，利用這個關(guān)系尋找所滿足的方程．解析：令，則，設(shè)的中點(diǎn)為， 顯然，因?yàn)?
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