函數(shù)零點易錯題、三角函數(shù)重難點教師版(已修改)
2025-04-05 12:18 本頁面
【正文】 成都高校聯(lián)盟家教中心 函數(shù)零點易錯題 三角函數(shù)重難點 教師版 函數(shù)的零點是函數(shù)圖象的一個重要的特征，同時也溝通了函數(shù)、方程、不等式以及算法等內(nèi)容，在分析解題思路、探求解題方法中起著重要的作用，因此要重視對函數(shù)零點的學習．下面就函數(shù)的零點判定中的幾個誤區(qū)進行剖析，希望對大家有所幫助．1． 因＂望文生義＂而致誤 例１．函數(shù)的零點是 ?。ā 。。粒 。拢 。茫 。模?，２錯解：Ｃ錯解剖析：錯誤的原因是沒有理解零點的概念，＂望文生義＂，認為零點就是一個點．而函數(shù)的零點是一個實數(shù)，即使成立的實數(shù)，也是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．正解：由得，＝１和２，所以選Ｄ．點撥：求函數(shù)的零點有兩個方法，⑴代數(shù)法：求方程的實數(shù)根，⑵幾何法：由公式不能直接求得，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即使所求．2． 因函數(shù)的圖象不連續(xù)而致誤例２．函數(shù)的零點個數(shù)為 （ ?。。粒啊 。拢薄 。茫病 。模冲e解：因為，所以，函數(shù)有一個零點，選Ｂ．錯解剖析：分析函數(shù)的有關(guān)問題首先考慮定義域，其次考慮函數(shù)的圖象是不是連續(xù)的，這里的函數(shù)圖像是不連續(xù)的，所以不能用零點判定定理．正解：函數(shù)的定義域為，當時，當時，所以函數(shù)沒有零點．也可由得方程無實數(shù)解． 點撥：對函數(shù)零點個數(shù)的判定，可以利用零點存在性定理來判定，涉及多個零點的往往借助于函數(shù)的單調(diào)性．若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即,則在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)至少有一個零點，即相應(yīng)的方程在區(qū)間至少有一個實數(shù)解．然而對于函數(shù)的，若滿足，則在區(qū)間內(nèi)不一定有零點；反之，在區(qū)間內(nèi)有零點也不一定有．前者是因為圖象不連續(xù)，后者是因為方程有重根．如下圖所示： 3． 因函數(shù)值同號而致誤例３．判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點．錯解：因為，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點．錯解剖析：上述做法錯誤地用了函數(shù)零點判定定理，因為函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)圖像是連續(xù)曲線，且，也可能在內(nèi)有零點．如函數(shù)在區(qū)間上有，但在內(nèi)有零點．正解：當時，函數(shù)在上的圖象與軸沒有交點，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點． 法二：由得，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點．點撥：對有些函數(shù)，即使它的圖象是連續(xù)不斷的，當它通過零點時，函數(shù)值也不一定變號．如函數(shù)有零點１，（如上圖）但函數(shù)值沒變號．對函數(shù)零點的判定一定要抓住兩點：①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)曲線，②在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即．4． 因忽略區(qū)間端點而致誤例４．已知二次函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．錯解：由函數(shù)的零點的性質(zhì)得，即，解得．所以實數(shù)的取值范圍為．錯解剖析：錯解的原因是只注意到函數(shù)零點的應(yīng)用，而忽略問題的其它形式：①在上有二重根；②終點的函數(shù)值可能為０．正解：⑴當方程在上有兩個相等實根時， 且，此時無解． ⑵當方程有兩個不相等的實根時，① 有且只有一根在上時，有，即，解得②當時，＝０，解得，合題意．③當時，方程可化為，解得合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．點撥：在求參數(shù)時，要注意將函數(shù)零點的特殊性質(zhì)與函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)相結(jié)合，進行分類討論使復雜的問題簡單化． 本文已在《學苑新報》上發(fā)表方程的根與函數(shù)的零點1．函數(shù)的零點為（ ）A、 B、 C、 D、不存在2．函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）A、0 B、1 C、2 D、33. 函數(shù)的零點一定位于區(qū)間（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) .∵，.∴
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