二項(xiàng)式定理典型例題-wenkub
2023-04-08 06:31:04 本頁(yè)面
【正文】 ∴左邊 右邊．說(shuō)明：本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解．此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求的結(jié)果．仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與的展開(kāi)式接近，但要注意： 從而可以得到：．典型例題七例7 利用二項(xiàng)式定理證明：是64的倍數(shù)．分析：64是8的平方，問(wèn)題相當(dāng)于證明是的倍數(shù)，為了使問(wèn)題向二項(xiàng)式定理貼近，變形，將其展開(kāi)后各項(xiàng)含有，與的倍數(shù)聯(lián)系起來(lái)．解：∵是64的倍數(shù)．說(shuō)明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問(wèn)題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù)．典型例題八例8 展開(kāi)．分析1：用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式．解法1： 分析2：對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)．解法2：．說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式的展開(kāi)式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件．對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便．典型例題九例9 若將展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（ ?。瓵．11 B．33 C．55 D．66分析：看作二項(xiàng)式展開(kāi)．解：我們把看成，按二項(xiàng)式展開(kāi)，共有“項(xiàng)”，即．這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)，不同的乘積（）展開(kāi)后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)．下面，再分別考慮每一個(gè)乘積（）．其中每一個(gè)乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)由決定，而且各項(xiàng)中和的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)．故原式展開(kāi)后的總項(xiàng)數(shù)為，∴應(yīng)選D．典型例題十例10 若的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，求．分析：題中，當(dāng)時(shí)，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為；當(dāng)時(shí)，同理．然后寫出通項(xiàng)，令含的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出．解：當(dāng)時(shí)，其通項(xiàng)為，令，得，∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，同理可得，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．無(wú)論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為．令，以，逐個(gè)代入，得．典型例題十一例11 的展開(kāi)式的第3項(xiàng)小于第4項(xiàng)，則的取值范圍是______________．分析：首先運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出展開(kāi)式的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可．解：使有意
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