二項式定理典型例題(已修改)
2025-04-05 06:31 本頁面
【正文】 二項式定理典型例題典型例題一例1 在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項．分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決．解：二項式的展開式的通項公式為：前三項的得系數(shù)為：，由已知：，∴通項公式為為有理項，故是4的倍數(shù)，∴依次得到有理項為．說明：本題通過抓特定項滿足的條件，利用通項公式求出了r的取值，得到了有理項．類似地，的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有17頁 系數(shù)和為．典型例題四例4 （1）求展開式中的系數(shù)；（2）求展開式中的常數(shù)項．分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉化為二項式展開的問題，（1）可以視為兩個二項展開式相乘；（2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉化為二項式．解：（1）展開式中的可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：用展開式中的常數(shù)項乘以展開式中的項，可以得到；用展開式中的一次項乘以展開式中的項可得到；用中的乘以展開式中的可得到；用 中的項乘以展開式中的項可得到，合并同類項得項為：．（2）．由展開式的通項公式，可得展開式的常數(shù)項為．說明：問題（2）中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決．這時我們還可以通過合并項轉化為二項式展開的問題來解決．典型例題五例5 求展開式中的系數(shù)．分析：不是二項式，我們可以通過或把它看成二項式展開．解：方法一： 其中含的項為．含項的系數(shù)為6．方法二：其中含的項為．∴項的系數(shù)為6．方法3：本題還可通過把看成6個相乘，每個因式各取一項相乘可得到乘積的一項，項可由下列幾種可能得到．5個因式中取x，一個取1得到．3個因式中取x，一個取，兩個取1得到．1個因式中取x，兩個取，三個取1得到．合并同類項為，項的系數(shù)為6．典型例題六例6 求證：（1）；（2）．分析：二項式系數(shù)的性質實際上是組合數(shù)的性質，我們可以用二項式系數(shù)的性質來證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值．解決這兩個小題的關鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項變化的等數(shù)固定下來，從而使用二項式系數(shù)性質．解：（1）∴左邊 右邊．（2）．∴
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