二項式定理典型例題-文庫吧
2025-03-09 06:31 本頁面
【正文】 左邊 右邊．說明：本題的兩個小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質(zhì)求解．此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔細觀察，我們可以看下面的例子：求的結(jié)果．仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與的展開式接近，但要注意： 從而可以得到：．典型例題七例7 利用二項式定理證明：是64的倍數(shù)．分析：64是8的平方，問題相當于證明是的倍數(shù)，為了使問題向二項式定理貼近，變形，將其展開后各項含有，與的倍數(shù)聯(lián)系起來．解：∵是64的倍數(shù)．說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復雜的指數(shù)式除以一個數(shù)的余數(shù)．典型例題八例8 展開．分析1：用二項式定理展開式．解法1： 分析2：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開．解法2：．說明：記準、記熟二項式的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條件．對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便．典型例題九例9 若將展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為（ ?。瓵．11 B．33 C．55 D．66分析：看作二項式展開．解：我們把看成，按二項式展開，共有“項”，即．這時，由于“和”中各項的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式展開，不同的乘積（）展開后，都不會出現(xiàn)同類項．下面，再分別考慮每一個乘積（）．其中每一個乘積展開后的項數(shù)由決定，而且各項中和的指數(shù)都不相同，也不會出現(xiàn)同類項．故原式展開后的總項數(shù)為，∴應選D．典型例題十例10 若的展開式的常數(shù)項為，求．分析：題中，當時，把三項式轉(zhuǎn)化為；當時，同理．然后寫出通項，令含的冪指數(shù)為零，進而解出．解：當時，其通項為，令，得，∴展開式的常數(shù)項為；當時，同理可得，展開式的常數(shù)項為．無論哪一種情況，常數(shù)項均為．令，以，逐個代入，得．典型例題十一例11 的展開式的第3項小于第4項，則的取值范圍是______________．分析：首先運用通項公式寫出展開式的第3項和第4項，再根據(jù)題設列出不等式即可．解：使有意義，必
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