二項式定理典型例題(更新版)
【正文】 和式，再用二項式定理展開．解：，∵，…均為自然數(shù)，∴上式各項均為的整數(shù)倍．∴原式能被整除．說明：用二項式定理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將某項湊成與除數(shù)有關的和式，再展開證之．該類題也可用數(shù)學歸納法證明，但不如用二項式定理證明簡捷．典型例題二十二例22 已知的展開式各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大．(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．分析：先由條件列方程求出．(1)需考慮二項式系數(shù)的性質；(2)需列不等式確定．解：令得展開式的各項系數(shù)之和為，而展開式的二項式系數(shù)的和為，∴有．∴．(1)∵，故展開式共有，其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項．∴，．(2)設展開式中第項的系數(shù)最大．，故有即解得．∵，∴，即展開式中第項的系數(shù)最大．說明：展開式中二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項是兩個不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二項式系數(shù)的性質直接得出，后者要列不等式組；解不等式組時可能會求出幾個，這時還必須算出相應項的系數(shù)后再比較大?。湫屠}二十三例23 求證：(1) ；(2) (，)分析：(1)注意到兩列二項式兩乘后系數(shù)的特征，可構造一個函數(shù)；也可用構造一個組合問題的兩種不同解法找到思路．(2)同上構造函數(shù)，賦值．證明：(1)(法1)∵，∴．∴此式左右兩邊展開式中的系數(shù)必相等．左邊的系數(shù)是，右邊的系數(shù)是，∴．等式成立．(法2)設想有下面一個問題：要從個不同元素中取出個元素，共有多少種取法？該問題可有兩種解法．一種解法是明顯的，即直接由組合數(shù)公式可得出結論：有種不同取法．第二種解法，可將個元素分成兩組，第一組有個元素，第二組有個元素，則從個元素中取出個元素，可看成由這兩組元素中分別取出的元素組成，取法可分成類：從第一組取個，第二組不取，有種取法；從第一組取個，從第二組取個，有種取法，…，第一組不取，從第二組取個．因此取法總數(shù)是．而該問題的這兩種解法答案應是一致的，故有．(2)∵為偶數(shù)，∴；．兩式相加得，∴．說明：構造函數(shù)賦值法，構造問題雙解法，拆項法、倒序相加法都是證明一些組合數(shù)恒等式（或求和）的常用方法．。
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