二面角求法及經(jīng)典題型歸納-wenkub
2023-04-08 06:31:04 本頁面
【正文】 使與重合，求線段的長.練習(xí)（2008山東）如圖，已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.（Ⅰ）證明：AE⊥PD。如（例2）過二面角BFCC中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點與終點得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。 證（1）略解E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P （2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCDABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角BFCC的一個平面角, 在△BCF為正三角形中,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, 在Rt△OPF中,所以二面角BFCC的余弦值為.例2（2010安徽卷理18題）（本小題滿分13分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB =2EF，∠BFC=90176。）例3（2010全國II理，,19題，12分）如圖，直三棱柱中，為的中點，為上的一點，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45176。解（Ⅰ）在矩形中，,從而,故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離.因由,故為等腰直角三角形，而點E是棱的中點，所以.又在矩形ABCD中，,而是在底面內(nèi)的射影，由三垂線定理得,從而，故因，,且C點為AC的中點.連接則在所以練習(xí)（2008天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大??；（Ⅲ）求二面角的大?。治觯罕绢}是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點P 就是二面角PBDA的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）。提示：本題需要補(bǔ)棱，可過A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為45O）四、射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。
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