【正文】 夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關(guān)系。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，故23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。同余式讀作：a同余于b，模m。所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。劉邦茫然而不知其數(shù)。：對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個余數(shù)分別為2，3，使得這個數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，那么我們可以計算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。本題中31037=273，說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3713，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要滿足比37大，符合條件的有39，91.【例 1】 (年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有兩個自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？【解析】 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113，所以被除數(shù)除數(shù)=2083，由于被除數(shù)是除數(shù)的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)=（208313）247?！眷柟獭?(2004年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)一個自然數(shù)，除以11時所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時所得到的商是余數(shù)的3倍，這個自然數(shù)是_________．【解析】 設(shè)這個自然數(shù)除以11余，除以9余，則有，即，只有，所以這個自然數(shù)為。計算101，126，173，193除以3的余數(shù)分別為2，0，2，1。6余2，所以答案為22247。因為這是一個一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個三位數(shù)除以9的余數(shù)分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數(shù)為8，那么□1031除以9的余數(shù)也必須為8，□，即所以兩個三位數(shù)是143和217，那么兩個三位數(shù)的和是360【例 22】 設(shè)的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，的各位數(shù)字之和為，那么？【解析】 由于一個數(shù)除以9的余數(shù)與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數(shù)為2，則除以9的余數(shù)與除以9的余數(shù)相同，而除以9的余數(shù)為1，所以除以9的余數(shù)為除以9的余數(shù)，即為5．另一方面，由于，所以的位數(shù)不超過8036位，那么它的各位數(shù)字之和不超過，即；那么的各位數(shù)字之和，的各位數(shù)字之和，小于18且除以9的余數(shù)為5，那么為5或14，的各位數(shù)字之和為5，即．課后練習(xí)：練習(xí)1. (2002年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)之和等于415，則被除數(shù)是_______．【解析】 因為被除數(shù)減去8后是除數(shù)的4倍，所以根據(jù)和倍問題可知，除數(shù)為，所以，被除數(shù)為。練習(xí)3. (全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)六張卡片上分別標(biāo)上1191251841861912494六個數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另—個人的2倍，則丙手中卡片上的數(shù)是________．(第五屆小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽初賽) 【解析】 根據(jù)“甲、乙二人各自手中卡片上的數(shù)之和一個人是另一個人的2倍”可知，甲、乙手中五張卡片上的數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)．計算這六個數(shù)的總和是，10565除以3余2；因為甲、乙二人手中五張卡片上的數(shù)之和是3的倍數(shù)，那么丙手中的卡片上的數(shù)除以3余2．六個數(shù)中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的數(shù)為1193．練習(xí)4. 求的余數(shù) 【解析】 本題為余數(shù)乘法定理的拓展模式，即數(shù)字的乘方與一個數(shù)相除的余數(shù)情況。19發(fā)現(xiàn)會進入一個死循環(huán)，因為這時被除數(shù)比除數(shù)小了，所以可以進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，64247。19余數(shù)為11，所以原式的余數(shù)為11.練習(xí)5. 已知60，154，200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是，求該自然數(shù)的值．【解析】 根據(jù)題意可知，自然數(shù)61，154，201被該數(shù)除所得余數(shù)分別是，．由于，所以自然數(shù)與同余；由于，所以與201同余， 所以除數(shù)是和的公約數(shù)，運用輾轉(zhuǎn)相除法可得到 ，該除數(shù)為29．經(jīng)檢驗成立．練習(xí)6. (香港圣公會小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)有三所學(xué)校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人．三校共有高中生2196人．有一所學(xué)校初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍；；還有一所學(xué)校高中、初中人數(shù)相等．三所學(xué)校總?cè)藬?shù)是5480人，那么A?？?cè)藬?shù)是________人．【解析】 三所學(xué)校的高中生分別是：A校742人，B校732人，C校722人．如果A?；駽校初中人數(shù)，該?？?cè)藬?shù)是奇數(shù)，而按照給出條件得出其他兩校總?cè)藬?shù)都是偶數(shù)，與三?？?cè)藬?shù)5480是偶數(shù)矛盾，．三校初中的總?cè)藬?shù)是，被3除余2；732被3整除，722被3除余2,742被3除余1．從余數(shù)來看，就斷定初中人數(shù)是高中人數(shù)的2倍，只能是C校．所以，A?？?cè)藬?shù)是 (人) ．月考備選【備選1】除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是．求出符合條件的所有的兩位數(shù)．【解析】 ，那么符合條件的所有的兩位數(shù)有，因為“余數(shù)小于除數(shù)”,所以舍去，答案只有。19的余數(shù)。19余2，求原式的余數(shù)只要求的余數(shù)即可。由題意所求的自然數(shù)一定是200810即1998的約數(shù)，同時還要滿足大于10這個條件。【鞏固】 求除以7的余數(shù)．【解析】 法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余數(shù)與被7除所得余數(shù)相等)　　　　而，（729除以7的余數(shù)為1）， 所以．故除以7的余數(shù)為5. 法二： 計算被7除所得的余數(shù)可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表： 于是余數(shù)以6為周期變化．所以．【鞏固】 （2007年實驗中學(xué)考題）除以7的余數(shù)是多少？【解析】 由于，而1001是7的倍數(shù)，所以這個乘積也是7的倍數(shù)，故除以7的余數(shù)是0；【鞏固】 被除所得的余數(shù)是多少？【解析】 31被13除所得的余數(shù)為5，當(dāng)n取1，2，3，時被13除所得余數(shù)分別是5，12，8，1，5，12，8，1以4為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除的余數(shù)與被13除的余數(shù)相同，余12，則除以13的余數(shù)為12；30被13除所得的余數(shù)是4，當(dāng)n取1，2，3，時，被13除所得的余數(shù)分別是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現(xiàn)，所以被13除所得的余數(shù)等于被13除所得的余數(shù)，即4，故除以13的余數(shù)為4；所以被13除所得的余數(shù)是．【鞏固】 (2008年奧數(shù)網(wǎng)杯)已知，問：除以13所得的余數(shù)是多少？【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；；； 根據(jù)這樣的遞推規(guī)律求出余數(shù)的變化規(guī)律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍數(shù)．而除以3余1，所以除以13的余數(shù)與除以13的余數(shù)相同，為6.【鞏固】 除以41的余數(shù)是多少？【解析】 找規(guī)律：，……，所以77777是41的倍數(shù)，而，所以可以分成399段77777和1個7組成，那么它除以41的余數(shù)為7．【鞏固】 除以10所得的余數(shù)為多少？【解析】 求結(jié)果除以10的余數(shù)即求其個位數(shù)字．從1到2005這2005個數(shù)的個位數(shù)字是10個一循環(huán)的，而對一個數(shù)的冪方的個位數(shù)，我們知道它總是4個一循環(huán)的，因此把所有加數(shù)的個位數(shù)按每20個(20是4和10的最小公倍數(shù))一組，則不同組中對應(yīng)的個位數(shù)字應(yīng)該是一樣的．首先計算的個位數(shù)字，為的個位數(shù)字，為4，由于2005個加數(shù)共可分成100組另5個數(shù)，100組的個位數(shù)字和是的個位數(shù)即0，另外5個數(shù)為、它們和的個位數(shù)字是的個位數(shù) 3，所以原式的個位數(shù)字