六年級奧數(shù)(數(shù)的整除)-wenkub
2023-04-08 02:26:56 本頁面
【正文】 0，1，2，3，4中的兩個數(shù)，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504. 思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應如何去求，是哪一個數(shù)呢？ ?。ù穑?023495） 例6某個七位數(shù)1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？ 解一：從整除特征考慮. 這個七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0. 另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除. 1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個數(shù)： 1993500，1993320，1993680， 其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320. 一個整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質數(shù)（也叫素數(shù)）.例如，2，5，7，101，….一個整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，4，12，99，501，….1不是質數(shù)，恰好只有兩個約數(shù)的整數(shù)是質數(shù)，至少有3個約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個約數(shù)，也就是它本身. 質數(shù)中只有一個偶數(shù)，就是2，例如，15，33，…. 例9 ○（□+△）=209. 在○、□、△中各填一個質數(shù)，使上面算式成立. 解：209可以寫成兩個質數(shù)的乘積，即 209＝1119. 不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，偶質數(shù)只有2，不妨假定△○填19，□要填9，9不是質數(shù)，因此○填11，而□填17. 這個算式是 11（17＋2）＝209， 11（2＋17）＝ 209. ，特別是一些質數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內容. 一個整數(shù)的因數(shù)中，為質數(shù)的因數(shù)叫做這個整數(shù)的質因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質因數(shù). 任何一個合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質因數(shù)乘積的形式，例如 360＝222335. 還可以寫成360＝23325. 這里23表示3個2相乘，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方. 例10 有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？ 解：我們先把5040分解質因數(shù) 5040＝243257. 再把這些質因數(shù)湊成四個連續(xù)自然數(shù)的乘積： 243257＝78910. 所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲. 利用合數(shù)的質因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個簡單的例子. 我們知道24的約數(shù)有8個：1，2，3，4，6，8，12，如果一個一個地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事. 因為24＝233，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)（1，2，22，23）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積. 11，13，21，23，221，223，231，233. 這里有42＝8個，即 （3＋1）（1＋1）個，即對于24＝233中的23，有（3＋1）種選擇：1，2，22，23，對于3有（1＋1）（3＋1）（1＋1）種選擇. 這個方法，可以運用到一般情形，例如， 144＝2432. 因此144的約數(shù)個數(shù)是（4＋1）（2+1）＝15（個）. 例11 在100至150之間，找出約數(shù)個數(shù)是8的所有整數(shù). 解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）（1＋1）兩種情況. ?。?）27＝128，符合要求， 37＞150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求. （2）23＝8， 813＝104， 817＝136，符合要求. 33＝27； 只有275＝135符合要求. 53＝135，它乘以任何質數(shù)都大于150，因此共有4個數(shù)合要求：128，104，135，136. ，例如 720＝24325，168＝2337. 那么每個公共質因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個整數(shù)都含有質因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是 233＝ 24. 在求最小公倍數(shù)時，而168中無5，可以認為較高指數(shù)次方是51= 243257＝5040. 例12 兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個數(shù)是
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