六年級(jí)奧數(shù)(數(shù)的整除)-在線瀏覽
2025-05-11 02:26本頁(yè)面
【正文】 位數(shù)是98765ab，要使它被11整除，要滿足（9+7+5+b）（8+6+a）=（21+b）（14+a） 能被11整除，也就是7+ba要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個(gè)數(shù)，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504. 思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個(gè)數(shù)呢？ （答：1023495） 例6某個(gè)七位數(shù)1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？ 解一：從整除特征考慮. 這個(gè)七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0. 另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除. 1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個(gè)數(shù)： 1993500，1993320，1993680， 其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320. 一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）.例如，2，5，7，101，….一個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，4，12，99，501，….1不是質(zhì)數(shù)，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身. 質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2，例如，15，33，…. 例9 ○（□+△）=209. 在○、□、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立. 解：209可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即 209＝1119. 不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17. 這個(gè)算式是 11（17＋2）＝209， 11（2＋17）＝ 209. ，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問(wèn)題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容. 一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù). 任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如 360＝222335. 還可以寫(xiě)成360＝23325. 這里23表示3個(gè)2相乘，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方. 例10 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？ 解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù) 5040＝243257. 再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積： 243257＝78910. 所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲. 利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子. 我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1，2，3，4，6，8，12，如果一個(gè)一個(gè)地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事. 因?yàn)?4＝233，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)（1，2，22，23）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積. 11，13，21，23，221，223，231，233. 這里有42＝8個(gè)，即 （3＋1）（1＋1）個(gè)，即對(duì)于24＝233中的23，有（3＋1）種選擇：1，2，22，23，對(duì)于3有（1＋1）（3＋1）（1＋1）種選擇. 這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如， 144＝2432. 因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是（4＋1）（2+1）＝15（個(gè)）. 例11 在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù). 解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）（1＋1）兩種情況. ?。?）27＝128，符合要求， 37＞150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求. （2）23＝8， 813＝104， 817＝136，符合要求. 33＝27； 只有275＝135符合要求. 53＝135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128，104，135，136. ，例如 720＝24325，168＝2337. 那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是 233＝ 24.
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