【正文】 P+PE的值最小，做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為　_________?。?（2）實踐運用 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60176。點B是的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．　5．幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最?。椒ǎ鹤鼽cA關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最?。ú槐刈C明）．模型應用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是　_________?。唬?）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60176。、60176。的兩個角都是此三角形的好角．請你完成，如果一個三角形的最小角是4176?！螧=15176?！唷螦OD=60176。又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′=90176。=AB?sin45176。點B是的中點得到∠BOC=30176。=90176?！螦OC=60176。=90176。點B是的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．考點：軸對稱最短路線問題．3113559分析：（1）首先由等邊三角形的性質知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90176?！唷螦′OB=∠A′OD+∠BOD=90176。∴∠A′OC=120176。在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周長的最小值等于10．點評：此題綜合性較強，主要考查有關軸對稱﹣﹣最短路線的問題，綜合應用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關知識．　6．（2006?湖州）如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x軸上的一個動點，則當p=　　時，△PAB的周長最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，則當a=　　時，四邊形ABDC的周長最短；（3）設M，N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=　　，n=　﹣?。ú槐貙懡獯疬^程）；若不存在，請說明理由．考點：軸對稱最短路線問題；坐標與圖形性質．3113559專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)題意，設出并找到B（4，﹣1）關于x軸的對稱點是B39。F．利用兩點間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長最短等于A39。（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0得x=，即p=．（2）過A點作AE⊥x軸于點E，且延長AE，取A39。F的解析式為，即y=4x﹣5，∵C點的坐標為（a，0），且在直線A39。=5，∴，連接PB，則PB=PD，∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．點評：此題主要考查學生利用軸對稱的性質來綜合解三角形的能力．　9．（2006?巴中）如圖：（1）若把圖中小人平移，使點A平移到點B，請你在圖中畫出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點P的位置．考點：軸對稱最短路線問題；作圖軸對稱變換；作圖平移變換．3113559專題：作圖題．分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點B，再利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短的性質，找到點A的對稱點，連接A1B與l相交于點P，即為所求．解答：解：點評：本題考查的是平移變換與最短線路問題．最短線路問題一般是利用軸對稱的性質解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短可求出所求的點．作平移圖形時，找關鍵點的對應點也是關鍵的一步．平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應點；②確定圖形中的關鍵點；③利用第一組對應點和平移的性質確定圖中所有關鍵點的對應點；④按原圖形順序依次連接對應點，所得到的圖形即為平移后的圖形．　10．（2003?泉州）如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸．（1）請畫出：點A、B關于原點O的對稱點AB2（應保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接A1AB1B2（其中AB2為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段A1AB1B2；（3）設線段AB兩端點的坐標分別為A（﹣2，4）、B（﹣4，2），連接（1）中A2B2，試問在x軸上是否存在點C，使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最??？若存在，求出點C的坐標（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由．考點：作圖軸對稱變換；線段垂直平分線的性質；軸對稱最短路線問題．3113559專題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型．分析：（1）根據(jù)中心對稱的方法，找點A2，B2，連接即可．（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到AB1關于x軸的對稱點是AB2，所以x軸垂直平分線段A1AB1B2．（3）根據(jù)A1與A2，B1與B2均關于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C，點C為所求的點．根據(jù)題意得B1（4，2），A2（2，﹣4）設直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法．解得，所以可求直線A2B1的解析式為y=3x﹣10．令y=0，得x=，所以C的坐標為（，0）．即點C（，0）能使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最?。獯穑航猓海?）如圖，AB2為所求的點．（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴AB1關于x軸的對稱點是AB2，∴x軸垂直平分線段A1AB1B2．（3）存在符合題意的C點．由（2）知A1與A2，B1與B2均關于x軸對稱，∴連接A2B1交x軸于C，點C為所求的點．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依題意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．設直線A2B1的解析式為y=kx+b則有解得∴直線A2B1的解析式為y=3x﹣10，令y=0，得x=，∴C的坐標為（，0）綜上所述，點C（，0）能使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最小．點評：主要考查了軸對稱的作圖和性質，以及垂直平分線的性質．要知道對稱軸垂直平分對應點的連線．會根據(jù)此性質求得對應點利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關鍵．　11．（2001?宜昌）某大型農場擬在公路L旁修建一個農產品儲藏、加工廠，將該農場兩個規(guī)模相同的水果生產基地A、B的水果集中進行儲藏和技術加工，以提高經濟效益．請你在圖中標明加工廠所在的位置C，使A、B兩地到加工廠C的運輸路程之和最短．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）考點：軸對稱最短路線問題．3113559專題：作圖題．分析：作A關于直線L的對稱點E，連接BE交直線L于C，則C為所求．解答：答：如圖：．點評：本題主要考查對軸對稱﹣最短路線的問題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關鍵，　12．（2012?淮安）閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合．探究發(fā)現(xiàn)（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？　是?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保?）小麗經過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請?zhí)骄俊螧與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系．根據(jù)以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為　∠B=n∠C?。畱锰嵘?）小麗找到一個三角形，三個角分別為15176。和105176。②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用數(shù)學歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結論：∠B=n∠C；（3）利用（2）的結論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形內角和定理可以求得另外兩個角的度數(shù)可以是172；168；1160；4132；88176。∴∠B=3∠C；由小麗展示的情形一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；（3）由（2）知設∠A=4176。三角形另外兩個角的度數(shù)是172；168；1160；4132；88176。OC=OA，證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根據(jù)SAS證△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；