【文章內(nèi)容簡介】 是三角形兩邊之和大于第三邊．　5．（2009?漳州）幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最?。椒ǎ鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最?。ú槐刈C明）．模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是　　；（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60176。，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，∠AOB=45176。，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．考點：軸對稱最短路線問題．3113559專題：壓軸題；動點型．分析：（1）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）作A關(guān)于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，求A′C的長，即是PA+PC的最小值；（3）作出點P關(guān)于直線OA的對稱點M，關(guān)于直線OB的對稱點N，連接MN，它分別與OA，OB的交點Q、R，這時三角形PEF的周長=MN，只要求MN的長就行了．解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=；（2）作A關(guān)于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，∵∠AOC=60176。∴∠A′OC=120176。作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60176。∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點Q、R，連接PR、PQ，此時△PQR周長的最小值等于MN．由軸對稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=245176。=90176。，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周長的最小值等于10．點評：此題綜合性較強，主要考查有關(guān)軸對稱﹣﹣最短路線的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識．　6．（2006?湖州）如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x軸上的一個動點，則當p=　　時，△PAB的周長最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，則當a=　　時，四邊形ABDC的周長最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=　　，n=　﹣?。ú槐貙懡獯疬^程）；若不存在，請說明理由．考點：軸對稱最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)．3113559專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到B（4，﹣1）關(guān)于x軸的對稱點是B39。，其坐標為（4，1），進而可得直線AB39。的解析式，進而可得答案；（2）過A點作AE⊥x軸于點E，且延長AE，取A39。E=AE．做點F（1，﹣1），連接A39。F．利用兩點間的線段最短，可知四邊形ABDC的周長最短等于A39。F+CD+AB，從而確定C點的坐標值．（3）根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點M、N，當且僅當m=，n=﹣；時成立．解答：解：（1）設(shè)點B（4，﹣1）關(guān)于x軸的對稱點是B39。，其坐標為（4，1），設(shè)直線AB39。的解析式為y=kx+b，把A（2，﹣3），B39。（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0得x=，即p=．（2）過A點作AE⊥x軸于點E，且延長AE，取A39。E=AE．做點F（1，﹣1），連接A39。F．那么A39。（2，3）．直線A39。F的解析式為，即y=4x﹣5，∵C點的坐標為（a，0），且在直線A39。F上，∴a=．（3）存在使四邊形ABMN周長最短的點M、N，作A關(guān)于y軸的對稱點A′，作B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接A′B′，與x軸、y軸的交點即為點M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直線A′B′的解析式為：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．m=，n=﹣．點評：考查圖形的軸對稱在實際中的運用，同時考查了根據(jù)兩點坐標求直線解析式，運用解析式求直線與坐標軸的交點等知識．　7．（2007?慶陽）需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A，B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置．考點：軸對稱最短路線問題．3113559專題：作圖題．分析：利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點A關(guān)于公路的對稱點A′，連接A′B，與公路的交點就是點P的位置．解答：解：點P就是飛機場所在的位置．（5分）點評：本題主要是利用軸對稱圖形來求最短的距離．用到的知識：兩點之間線段最短．　8．（2006?貴港）如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)A，B，已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角∠AON=30176。，新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米．（1）新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為　8?。唬?）現(xiàn)要在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū)A，B修兩條公路PA，PB，使點P到新開發(fā)區(qū)A，B的距離之和最短．此時PA+PB=　14?。ㄇ祝键c：軸對稱最短路線問題．3113559專題：計算題；壓軸題．分析：（1）先求出OB的長，從而得出OA的長，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離．（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根據(jù)余弦概念求解．解答：解：（1）∵BC=3，∠AOC=30176。，∴OB=6．過點A作AE⊥MN于點E，AO=AB+OB=16，∴AE=8．即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；（2）過D作DF⊥AE的延長線（點D是點B關(guān)于MN的對稱點），垂足為F．則EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，過B作BG⊥AE于G，∴BG=DF，∵BG=AB?cos30176。=5，∴，連接PB，則PB=PD，∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．點評：此題主要考查學(xué)生利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角形的能力．　9．（2006?巴中）如圖：（1）若把圖中小人平移，使點A平移到點B，請你在圖中畫出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點P的位置．考點：軸對稱最短路線問題；作圖軸對稱變換；作圖平移變換．3113559專題：作圖題．分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點B，再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)，找到點A的對稱點，連接A1B與l相交于點P，即為所求．解答：解：點評：本題考查的是平移變換與最短線路問題．最短線路問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短可求出所求的點．作平移圖形時，找關(guān)鍵點的對應(yīng)點也是關(guān)鍵的一步．平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應(yīng)點；②確定圖形中的關(guān)鍵點；③利用第一組對應(yīng)點和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點的對應(yīng)點；④按原圖形順序依次連接對應(yīng)點，所得到的圖形即為平移后的圖形．　10．（2003?泉州）如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸．（1）請畫出：點A、B關(guān)于原點O的對稱點AB2（應(yīng)保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接A1AB1B2（其中AB2為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段A1AB1B2；（3）設(shè)線段AB兩端點的坐標分別為A（﹣2，4）、B（﹣4，2），連接（1）中A2B2，試問在x軸上是否存在點C，使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最小？若存在，求出點C的坐標（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由．考點：作圖軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱最短路線問題．3113559專題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型．分析：（1）根據(jù)中心對稱的方法，找點A2，B2，連接即可．（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到AB1關(guān)于x軸的對稱點是AB2，所以x軸垂直平分線段A1AB1B2．（3）根據(jù)A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C，點C為所求的點．根據(jù)題意得B1（4，2），A2（2，﹣4）設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法．解得，所以可求直線A2B1的解析式為y=3x﹣10．令y=0，得x=，所以C的坐標為（，0）．即點C（，0）能使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最?。獯穑航猓海?）如圖，AB2為所求的點．（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴AB1關(guān)于x軸的對稱點是AB2，∴x軸垂直平分線段A1AB1B2．（3）存在符合題意的C點．由（2）知A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對稱，∴連接A2B1交x軸于C，點C為所求的點．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依題意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則有解得∴直線A2B1的解析式為y=3x﹣10，令y=0，得x=，∴C的坐標為（，0）綜上所述，點C（，0）能使△A1B1C與△A2B2C的周長之和最?。c評：主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平