【正文】 是所求的點(diǎn)P，線(xiàn)段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值． 如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在A(yíng)D上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于A(yíng)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　_________?。?（2）實(shí)踐運(yùn)用 如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60176。點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法．　5．幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線(xiàn)l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問(wèn)題：在直線(xiàn)l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小．方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對(duì)稱(chēng)性可知，B與D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是　_________??；（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60176。、60176。的兩個(gè)角都是此三角形的好角．請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4176?！螧=15176。∴∠AOD=60176。又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′=90176。=AB?sin45176。點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到∠BOC=30176。=90176。∠AOC=60176。=90176。點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法．考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題．3113559分析：（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90176?！唷螦′OB=∠A′OD+∠BOD=90176?！唷螦′OC=120176。在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周長(zhǎng)的最小值等于10．點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對(duì)稱(chēng)﹣﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)的問(wèn)題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)．　6．（2006?湖州）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p=　　時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a=　　時(shí)，四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0）、N（0，n），使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出m=　　，n=　﹣?。ú槐貙?xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．3113559專(zhuān)題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出并找到B（4，﹣1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B39。F．利用兩點(diǎn)間的線(xiàn)段最短，可知四邊形ABDC的周長(zhǎng)最短等于A(yíng)39。（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0得x=，即p=．（2）過(guò)A點(diǎn)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，且延長(zhǎng)AE，取A39。F的解析式為，即y=4x﹣5，∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），且在直線(xiàn)A39。=5，∴，連接PB，則PB=PD，∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)來(lái)綜合解三角形的能力．　9．（2006?巴中）如圖：（1）若把圖中小人平移，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)B，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出平移后的小人；（2）若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上點(diǎn)P處喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，試在圖中畫(huà)出點(diǎn)P的位置．考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題；作圖軸對(duì)稱(chēng)變換；作圖平移變換．3113559專(zhuān)題：作圖題．分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點(diǎn)B，再利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的性質(zhì)，找到點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接A1B與l相交于點(diǎn)P，即為所求．解答：解：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平移變換與最短線(xiàn)路問(wèn)題．最短線(xiàn)路問(wèn)題一般是利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解題，通過(guò)作軸對(duì)稱(chēng)圖形，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可求出所求的點(diǎn)．作平移圖形時(shí)，找關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也是關(guān)鍵的一步．平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)；②確定圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)；③利用第一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；④按原圖形順序依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形即為平移后的圖形．　10．（2003?泉州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABB1A1的對(duì)稱(chēng)軸為y軸．（1）請(qǐng)畫(huà)出：點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)AB2（應(yīng)保留畫(huà)圖痕跡，不必寫(xiě)畫(huà)法，也不必證明）；（2）連接A1AB1B2（其中AB2為（1）中所畫(huà)的點(diǎn)），試證明：x軸垂直平分線(xiàn)段A1AB1B2；（3）設(shè)線(xiàn)段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4）、B（﹣4，2），連接（1）中A2B2，試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)C，使△A1B1C與△A2B2C的周長(zhǎng)之和最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（不必說(shuō)明周長(zhǎng)之和最小的理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：作圖軸對(duì)稱(chēng)變換；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題．3113559專(zhuān)題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型．分析：（1）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的方法，找點(diǎn)A2，B2，連接即可．（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到AB1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是AB2，所以x軸垂直平分線(xiàn)段A1AB1B2．（3）根據(jù)A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，連接A2B1交x軸于C，點(diǎn)C為所求的點(diǎn)．根據(jù)題意得B1（4，2），A2（2，﹣4）設(shè)直線(xiàn)A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法．解得，所以可求直線(xiàn)A2B1的解析式為y=3x﹣10．令y=0，得x=，所以C的坐標(biāo)為（，0）．即點(diǎn)C（，0）能使△A1B1C與△A2B2C的周長(zhǎng)之和最?。獯穑航猓海?）如圖，AB2為所求的點(diǎn)．（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）依題意與（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴AB1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是AB2，∴x軸垂直平分線(xiàn)段A1AB1B2．（3）存在符合題意的C點(diǎn)．由（2）知A1與A2，B1與B2均關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴連接A2B1交x軸于C，點(diǎn)C為所求的點(diǎn)．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依題意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．設(shè)直線(xiàn)A2B1的解析式為y=kx+b則有解得∴直線(xiàn)A2B1的解析式為y=3x﹣10，令y=0，得x=，∴C的坐標(biāo)為（，0）綜上所述，點(diǎn)C（，0）能使△A1B1C與△A2B2C的周長(zhǎng)之和最?。c(diǎn)評(píng)：主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．要知道對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)．會(huì)根據(jù)此性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)利用待定系數(shù)法解一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．　11．（2001?宜昌）某大型農(nóng)場(chǎng)擬在公路L旁修建一個(gè)農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏、加工廠(chǎng)，將該農(nóng)場(chǎng)兩個(gè)規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進(jìn)行儲(chǔ)藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟(jì)效益．請(qǐng)你在圖中標(biāo)明加工廠(chǎng)所在的位置C，使A、B兩地到加工廠(chǎng)C的運(yùn)輸路程之和最短．（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)最短路線(xiàn)問(wèn)題．3113559專(zhuān)題：作圖題．分析：作A關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE交直線(xiàn)L于C，則C為所求．解答：答：如圖：．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)的問(wèn)題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解此題的關(guān)鍵，　12．（2012?淮安）閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線(xiàn)A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；…；將余下部分沿∠BnAnC的平分線(xiàn)AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3，沿∠BAC的平分線(xiàn)AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線(xiàn)A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合．探究發(fā)現(xiàn)（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？　是?。ㄌ睢笆恰被颉安皇恰保?）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為　∠B=n∠C　．應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15176。和105176。②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C；（3）利用（2）的結(jié)論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個(gè)角的度數(shù)可以是172；168；1160；4132；88176。∴∠B=3∠C；由小麗展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；故若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C；（3）由（2）知設(shè)∠A=4176。三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是172；168；1160；4132；88176。OC=OA，證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根據(jù)SAS證△MON