【正文】 OCN≌△OAN′（SAS），∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120176。，∠NOM=60176。，∴∠CON+∠COM=60176。，∴∠AON′+∠COM=60176。，即∠NOM=∠N′OM，∵在△NOM和△N′OM中，∴△NOM≌△N′OM，∴MN=MN′，∵MN′=AM﹣AN′=AM﹣CN，∴MN=AM﹣CN．（2）MN=AM﹣CN，證明：理由是：在AM上截取AN′=CN，連接ON′，OC，OA，∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點，△ABC是等邊三角形，∴OC=OA，由三線合一定理得：∠OCB=OCA=∠OAC=30176。，∠AOC=180176。﹣30176。﹣30176。=120176。，∴∠OCN=∠OAN′=30176。，∵在△OCN和△OAN′中，∴△OCN≌△OAN′（SAS），∴ON=ON′，∠CON=∠AON′∴∠N′ON=∠COA=120176。，又∵∠MON=60176。，∴∠MON=∠MON′=60176?！咴凇鱊OM和△N′OM中，∴△NOM≌△N′OM，∴MN=MN′，∵MN′=AM﹣AN′=AM﹣CN，∴MN=AM﹣CN．（3）解：MN=CN+AM，理由是：延長CA到N′，使AN′=CN，連接OC，OA，ON′，∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點，△ABC是等邊三角形，∴OC=OA，由三線合一定理得：∠OCA=∠OAB=30176。，∠AOC=180176。﹣30176。﹣30176。=120176。，∴∠OCN=∠OAN′，∵在△OCN和△OAN′中，∴△OCN≌△OAN′（SAS），∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120176。，∠NOM=60176。，∴∠CON+∠AOM=60176。，∴∠AON′+∠AOM=60176。，即∠NOM=∠N′OM，∵在△NOM和△N′OM中，∴△NOM≌△N′OM，∴MN=MN′，∵MN′=AM+AN′=AM+CN，∴MN=AM+CN．點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生的推理能力和猜想能力，題目具有一定的代表性，證明過程類似．　15．（2012?潮陽區(qū)模擬）如圖，線段CD垂直平分線段AB，CA的延長線交BD的延長線于E，CB的延長線交AD的延長線于F，求證：DE=DF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：根據(jù)線段垂直平分線得出AC=BC，BD=AD，推出∠CBE=∠CAF，證△BCE≌△ACF，推出BE=AF，即可得出答案．解答：證明：∵線段CD垂直平分AB，∴AC=BC，AD=BD，∴∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD，∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD，即∠CBE=∠CAF，在△BCE和△ACF中∵，∴△BCE≌△ACF（ASA），∴BE=AF，∵BD=AD，∴BE﹣BD=AF﹣AD，即DE=DF．點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用．　16．如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點M．求證：（1）△ABC≌△DCB；（2）點M在BC的垂直平分線上．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：（1）由已知和BC=BC，根據(jù)SSS即可推出兩三角形全等；（2）由全等得出∠DBC=∠ACB，推出MB=MC，根據(jù)線段垂直平分線定理得出即可．解答：（1）證明：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）證明：∵由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴MB=MC，∴點M在BC的垂直平分線上．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ABC≌△DCB，題目比較好，難度適中．　17．如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線DE交△BAC的外角平分線AD于D，E為垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求證：BF=AC+AF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根據(jù)HL證Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根據(jù)HL證Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．解答：證明：過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，則DN=DF（角平分線性質(zhì)），DB=DC（線段垂直平分線性質(zhì)），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90176。，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵，∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵，∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線定理，角平分線性質(zhì)等知識點，會添加適當(dāng)?shù)妮o助線，會利用中垂線的性質(zhì)找出全等的條件是解此題的關(guān)鍵．　18．已知△ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線PM相交于點P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分別是K、L，求證：BK=CL．考點：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：連接PB，PC，根據(jù)PM垂直平分線段BC可知PB=PC，已知AP平分∠BAC，PK⊥AB，PL⊥AC可知PK=PL，從而可證△BPK≌△CPL，可得BK=CL．解答：證明：連接PB，PC，∵PM垂直平分線段BC，∴PB=PC，∵AP平分∠BAC，PK⊥AB，PL⊥AC，∴PK=PL，∴△BPK≌△CPL（HL），∴BK=CL．點評：本題考查了線段的垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，關(guān)鍵是明確P點既在垂直平分線上，又在角平分線上．　19．某私營企業(yè)要修建一個加油站，如圖，其設(shè)計要求是，加油站到兩村A、B的距離必須相等，且到兩條公路m、n的距離也必須相等，那么加油站應(yīng)修在什么位置，在圖上標出它的位置．（要有作圖痕跡）考點：角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：應(yīng)用題；作圖題．分析：連接A、B，作AB的垂直平分線，然后作兩條公路m和n夾角的平分線，其交點即為加油站的位置．解答：解：作圖如圖，點P即為所求作的點．點評：此題考查學(xué)生對角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)的理解和掌握．特別要注意讓學(xué)生牢記角平分線的性質(zhì)定理．　20．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120176。，BC=9cm，AB的垂直平分線MN交BC于M，交AB于N，求BM的長．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559分析：先連接AM，根據(jù)△ABC中，AB=AC，∠A=120176。可求出∠B=∠C=30176。，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，BM=AM，∠1=∠B=30176。，進而可得出∠MAC的度數(shù)，在Rt△MAC中利用30176。的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可解答．解答：解：連接AM，∵△ABC中，AB=AC，∠A=120176。，∴∠B=∠C=30176。，∵MN是AB的垂直平分線，∴BM=AM，∠1=∠B=30176。，∴∠MAC=90176。，在Rt△MAC中，∠C=30176。，∴AM=MC，∵BC=9cm，BM=AM，∴AM+CM=9cm，∴AM=3cm，即BM=3cm．故BM的長為：3cm．點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．　21．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點P，過點P分別作PN⊥AB于N，PM⊥AC于點M，求證：BN=CM．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：連接PB，PC，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PM=PN，根據(jù)線段垂直平分線求出PB=PC，根據(jù)HL證Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．解答：證明：連接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分線，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90176。，∵P在BC的垂直平分線上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．　22．如圖己知在△ABC中，∠C=90176。，∠B=15176。，DE垂直平分AB，E為垂足交BC于D，BD=16cm，求AC長．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559分析：根據(jù)線段垂直平分線得出BD=AD=16cm，推出∠B=∠BAD=15176。，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠ADC=30176。，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)得出AC=AD，代入求出即可．解答：解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD=16cm，∴∠B=∠BAD=15176。，∴∠ADC=15176。+15176。=30176。，∵∠C=90176。，∴AC=AD=8cm，點評：本題考查了三角形的外角性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識點的綜合運用，題目比較典型，是一道比較好的題目．　 專業(yè)整理分享