【正文】 g1(x))， ( f2(x), g2(x))) Exercises 第一次： 1(i), 2, 3, 7, 10 第二次： 4， 5， 11， 13 167。 6. 167。(x) [c?(χ)]39。(x)g(x)+?(x)g39。(x). 定理 在 F[x]中，如果不可約多項式 p(x)是 ?(x)的一個 k(k≥1)重因式，則 p(x)是 ?(x)的導數(shù) ?39。(x)). 而求最大公因式有統(tǒng)一的方法 :輾轉(zhuǎn)相除法 . 設 F[x]中的多項式 ?(x)的標準分解式是 )()()()(2121 xpxpxcpxfmrmrr ??12111126 39。(x)所得商式是 cp1(x)p2(x)… pm(x) 把它記作 g(x), 我們便得到一個沒有重因式的多項式 g(x), 它與 ?(x)含有完全相同的不可約因式 . 去掉 ?(x)的不可約因式重數(shù)的方法 :先用輾轉(zhuǎn)相除法求出 (?(x)， ?39。2 x+n!. 2. 證明：一不可約多項式 p(x)是 ?(x)的 k(k≥1) 重因式當且僅當 p(x) 是 ?(x), ?39。 5. 167。 2.。 7 復系數(shù)和實系數(shù)多項式的因式分解 一 、 復系數(shù)多項式 定理 每一個 n(n0)次復系數(shù)多項式在復數(shù)域上有 n個根 (重根重數(shù)計算 ). 代數(shù)基本定理 每個次數(shù)大于零的復系數(shù)多項式在復數(shù)域中至少有一個根 . 復系數(shù)多項式唯一因式分解定理 每個次數(shù)大于零的復系數(shù)多項式在復數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積 . 從而 : 復數(shù)域上每個次數(shù)大于 2的復系數(shù)多項式均可約 . 二 、 根與系數(shù)的關(guān)系 設 ?(x)=xn+a1xn?1+… +an 在復數(shù)域上唯一地分解成一次因式的乘積 : ?(x)=(x??1)(x??2) … (x??n) 設 ?(x)=xn+a1xn?1+… +an =(x??1)(x??2) … (x??n) 比較得： a1＝ ?(?1+ ?2+… + ?n)。 a2＝ 53+(?2)( ?2)3 a4＝ 5 故： ?(x)=x4?9x3+17x2+33x?90， 或者 ?(x)=a(x4?9x3+17x2+33x?90). 三 、 實系數(shù)多項式 定理 如果 c是實系數(shù)多項式 ?(x)的一個復根 ， 則 c的共軛復數(shù) c 也是一個復根 。 4. 167。 3) p2 | a0。 4. (i), (ii). 習題課 ： 例 1 在實數(shù)域和復數(shù)域上分解下列多項式的因式 ?(x)=x4+1 例 2 求下列多項式的公根 ?(x)=x3+2x2+2x+1； g(x)=x4+ x3+2x2+x+1 例 3 證明：多項式 xd?1整除 xn?1的充分必要條件為 d |n. 例 6 舉例說明 “ 如果 a是 f ?(x)的一個 m重根則是 f(x)的一個 m+1重根 ” 是不正確的 . 例 4 如果 a是 f???(x)的一個 k重根 ， 則是下述 多項式的 k +3重根 ( ) [ 39。 對稱多項式 * 稱形為 的式子為關(guān)于變元 x1, x2,… , xn的初等對稱多項式 . 1 1 22 1 2 1 3 1 2 3 112nn n nnnx x xx x x x x x x x x xx x x????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????? ?? 定義 1 n元多項式 f(x1, x2, … , xn)稱為對稱多項式 ， 如果對任意的 1? I ? j ? n, 有 f(x1, … , xi, … , xj, … , xn) = f(x1, … , xj, … , xi, … , xn) 引理 設 是數(shù)環(huán) R上一 n元多項式 . 以初等對稱多項式 ?i代替 xi (1?i ?n), 得到一個關(guān)于 ?1, ?2, … , ?n的多項式 ： 如果 f(?1,?2, … , ?n)=0, 那么 f(x1, x2, … , xn)=0. 1212121 2 1 2, , ,( , , , ) nmnkkkn k k k nk k kfa? ? ? ? ? ?? ?1212121 2 1 2, , ,( , , , ) nmnkkkn k k k nk k kf x x x a x x x? ? 性質(zhì) 如果 是對稱多項式 f(x1, x2, … , xn)的一項 ， 則 也是 f(x1, x2, … , xn)的一項 , 其中 是 k1, k2, … , kn的一個排列 . 1212 nkkk na x x x1212iii nkkkna x x x12, , ,ni i ik k k 定理 (對稱多項式基本定理 ) 任一 n元對稱多項式 f (x1, x2, … , xn)都可 (唯一地 )表為初等對稱多項式的多項式 ， 即 ， 存在一個 n元多項式 ? (y1, y2, … , yn)使得 f (x1, x2, … , xn)=? (?1, ?2, … , ?n) 例 1 將三元對稱多項式 f(x1, x2, x3)=x13+x23+x33表為初等對稱多項式的多項式 . 例 2 將 n元對稱多項式 f(x1, x2, … , xn)=?x12x22表為初等對稱多項式的多項式 . 167。 行列式的性質(zhì) 167。 Laplace’s Theorem 復習及習題課 Ch. 3 Determinants 可應用于判定方陣是否可逆； 行列式是方形矩陣一個十分重要的數(shù)字 特征； 可應用于計算可逆矩陣的逆矩陣； 可應用于解 一類 線性方程組： Gramer 法則 . 167。 3 n級行列式 約定：從本節(jié)開始 , 如不做特別申明 , 課程 中提到數(shù)為一固定的數(shù)域 P中的元素 . 設 a是一個數(shù) . 由 a構(gòu)成的一級行列式為 |a |=a 一級行列式： 二級行列式 2112221122211211aaaaaaaa?? 設 a11, a12, a21, a22是四個數(shù) , 稱下式 為一個二級行列式 . 三級行列式 333231232221131211aaaaaaaaa 312213322113332112312312322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa?????? 類似地，稱下式 為一個三級行列式 . 定義 定義 n級行列式為 其中 , 表示對所有的 n級排列求和 . 12 nj j j? 從而，一 n級行列式的展開式為 n!個項的代數(shù)和，而每一項為行列式中不同行和不同列的 n個數(shù)的 乘積 . 1212121 1 1 2 12 1 2 2 212121() ( )nnnnn j j jj j n jj j jn n n na a aa a aa a aa a a??? ?2374D?? 例 計算。 2 排列 (permutation) 定義 由 1, 2, …, n 組成的一個有序組稱為一個 n級排列 . 性質(zhì) 共有 n！ 個 n級排列 . 定義 在一個 n級排列中 , 如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反 , 即前面的數(shù)大于后面的數(shù) , 則稱它們?yōu)榇伺帕械囊粋€反序 . 一個n級排列中的反序總數(shù)稱為此排列的反序數(shù) . 在一個 n級排列 j1 j2… jn中 , 記此排列的反序數(shù)為： ? ( j1j2… jn) 定義 一 n級排列的反序數(shù)為偶數(shù)則稱為 偶排列 。 行列式按一行 (列 )展開 167。 排列 (permutation) 167。 ( ) ] ( ) ( )2xag x f x f a f x f a?? ? ? ? 例 5 證明：如果 a是 f(x)的一個根 ， 并且 a是 f?(x)的一個 k(?1)重根 , 則 a是 f ?(x)的一個 k+1重根 . 例 8 證明：如果 f(x)| f(xn), 那么 f(x)的根 只能是零或單位根 . 例 7 證明定理 5的逆 :設 p(x)是 次數(shù) 0并且首項系數(shù)為１的多項式 .如果對任意的多項式 f(x)和 g(x), 由 p(x)| f(x)g(x), 就一定有 p(x) | f(x) 或 p(x)| g(x), 則 p(x)是一個不可約 多項式 . 例 9 證明 :如果 是有理系數(shù)多項式 f (x)的無理根 (a, b?0均為有理數(shù) ), 則 也是 f(x)的根 . 2ab?2ab?補充一 ：一元高次方程的公式解問題 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的公式解為 1. 一元二次方程的公式解 2 42b b a cxa? ? ?? 2. 一元三次方程的公式解 (Cardano公式 ) 1515年：意大利波羅利亞大學 （ 當時歐洲最 著名 )的 Ferro教授 1535年：意大利威尼斯數(shù)學家 Tartaglia重新 發(fā)現(xiàn)并仍然保密只透露給意大利米蘭數(shù)學 家 Cardano. 1545年 : Cardano 沒有信守諾言 , 在 《 大法 》一 書中予以公布 . 一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 的公式解 : 2 3 23233 2 9 2 703 2 7a c b b a b c a dyyaa? ? ?? ? ? 首先化為 x3+b/a x2+c/a x+d/a =0 再令 y=x+b/3a, 方程化為 即求解一般的一元三次方程可歸結(jié)為求解如下的一元三次方程 : 3 0x p x q? ? ?再作代換 : x=z?p/(3z) 得 333 027pzqz? ? ?以及 363 027pz q z? ? ? 由一元二次方程的公式解得 : 2 3 2 33312 3 2 3 23322 3 2 2 33321 1 1 12 4 27 2 4 271 1 1 12 4 27 2 4 271 1 1 12 4 27 2 4 27qqx q p q pqqx q p q pqqx q p q p?????? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? 其中 ?為 1的三次方根 . 3. 一元四次方程的公式解 (1 5 2 2年 , Cardano的學生 Ferrari ) 一元四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0 的公式解 : 即 : (x2+ax/2)2= (a/4?b)x2 ?cx?d 兩邊加 (x2/2+ax/2)t+t2/4 得 : (x2+ax/2+t/2)2= (a2/4?b+t)x2+(at/2 ?c)x+(t2/4 ?d) 選取 t 使得右邊的判別式為零 (配成完全平方 ): (at/2 ?c)2x ?4 (a2/4?b+t)(t2/4 ?d)=0 即 : t3?bt2+(ac?4d)t ? a2d+4bd ?c2=0