【正文】 ? ? ? ? ? ? ??56 0 0z ? ? ? ? ?11fz zz? ?例 5 在 為中心把 展開為洛朗級數。 解析延拓 49 167。 RC47 2．應用舉例 例 1 在 附近展開 0 0z ?ze例 2 在 附近展開 0 1z ?ze例 3 在 附近展開 0 0z ?sinz例 4 在 附近展開 0 0z ?11 z?231 1 ! 2 ! 3!z z z ze ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 12311111 ! 2 ! 3!z z ze e e ezzze? ? ?? ? ??? ???? ? ? ? ? ?????3 5 71 1 1 1s in1 ! 3 ! 5 ! 7 !z z z z z? ? ? ? ?231 11 z z zz ? ? ? ? ??48 一、解析延拓的含意 解析延拓就是通過函數的替換來擴大解析函數的定義域。 復數項級數 1 2 31nnw w w w??? ? ? ? ?1 2 3nnS w w w w? ? ? ? ?部分和 lim nnSS???1．級數的定義 2．級數收斂的必要條件 lim 0nn ??? ?3．絕對收斂 1 2 31nnw w w w??? ? ? ? ?絕對收斂則一定收斂，收斂不一定絕對收斂。 33 ? ? ? ? ?? ?? dzfizfl? ?? 2 1證明如下： ? ? ? ? ? ?112 2 llf z f zf z d di z i z??? ? ? ??? ????只需證明 ? ? ? ? 0lf f z dz? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?m a x m a x20lf f z f f zddzzf f z f f zdz??????????? ? ??????????? ? ???????34 二、柯西公式的推論 推論一 解析函數有任意階導數。 解： ???iiADdeedzz ??? ?? 01 i???dzzdzzdzzdzz CDBCABAB C D 1111 ???? ???? ???drrdeedrraiia 11 101 ?????? ? ???i???????iiAD deedzz??? ?? 21 i??27 167。 22 ? 路徑積分（積分的定義） ? 柯西定理 ? 不定積分 ? 柯西公式 ? 本章小結 第二章 復變函數的積分 167。 ? ?w f z?二、解析函數與調和函數的關系 調和函數： 2222 0uuxy??????? ?,u x y則 為二維調和函數 解析函數的實部和虛部都是調和函數。 復變函數 1．復變函數的定義 函數：從一個數域 (定義域）到另一個數域（值域）的映射 實變函數： y = f(x) 復變函數： w = f(z) 2．復變函數的定義域 區(qū)域 鄰域 內點 外點 境界點 境界線 閉區(qū)域 10 3．初等復變函數 指數函數 ? ?c o s s i nz x iy xw e e e y i y?? ? ? ? ?? ?1sin 2 iz izz e ei ???三角函數和雙曲函數 ? ?1c o s 2 iz izz e e ???? ?1sh 2 zzz e e ???? ?1c h 2 zzz e e ???11 冪函數 nwz?對數函數 ? ?A r gl n l n l n A r gizz z e z i z? ? ?例： 22zi? ? ?242 2 2 inz i e ? ????????? ? ? ?l n l n 2 24z i n i? ?? ? ? O 12 任意次冪函數 lns s zw z e??根式函數 w z a??例： 242 2 2 inz i e ? ????????? ? ? ?8898222iiniezee??????????????? ???arg21arg22ziziiw z ewzw z e??????? ?? ??單值分支 黎曼面 13 ? ? ? ? ? ?,f z u x y iv x y??如： ? ? ? ? ? ?22 2 2 2f z z x i y x y x y i? ? ? ? ? ? ?? ?c o s sinz x iy x iyxxf z e e e ee y e y i?? ? ? ?? ? ?14 167。 復數 ? 數的概念的擴展 —— 自然數 —— 減法不封閉 → 整數 —— 除法不封閉 → 有理數 —— 正數的指數運算不封閉 → 實數 —— 負數的指數運算不封閉 → 復數 221i ?5 iyxz ??1．復數和復數的代數式 2．復平面 實軸和虛軸 O x y z φ ρ Re zx?Im zy?Real part Imaginary part 6 ? ???? s inc o s iz ??ize????A rgz ???2a r g0 ?? z22 yx ???3．復數的三角式 指數式 (主輻角 ) 4．無窮遠點 零點，輻角沒有定義。 1. （ 6）（ 8） 2. （ 6）（ 7） 3. （ 4）（ 8） 167。 2. （ 2）（ 3）（ 8） 3. 167。 模為無窮大，輻角沒有定義。 復變函數的導數 ? ? ? ? ? ?0l imz f z z f zdffz dz z?? ? ? ?? ?? ?yuxvyvxu??????????? , 一、復變函數的導數的定義 柯西 黎曼方程 （柯西 黎曼條件） 二、求導法則和導數基本公式 三、復變函數導數存在的必要條件 充分條件： 連續(xù)，滿足科希 黎曼條件 15 四、極坐標系中的科希 黎曼條件 1 1 , u v v u? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?16 167。 2222 0uuxy??????2222 0vvxy??????共軛調和函數 17 三、解析函數的性質 ? ? 1,u x y C? ? ? 2,v x y C?是區(qū)域 B上的兩組正交曲線簇。 4 習題 2 23 167。 柯西（科希）定理 ? ? 0?? dzzfl一、單連通區(qū)域上的柯西定理 ? ? ? ? ? ?1221ZFZFdzzfzz ???或 ? ?zf l是閉合回路 所圍區(qū)域上的解析函數，則 若 格林公式 ? ? ? ?,lSQPP x y d x Q x y d y d x d yxy????? ? ?????????28 ? ? ? ?120llf z d z f z d z???? 二、復連通域上的柯西定理 ? ?zf l是閉合回路 所圍的復連通區(qū)域上的解析函數， 若 則： ? ? ? ?12llf z d z f z d z???29 01 ??? dzazldzazdzaz Cl ?? ??? 11?iaz Re??? ? iidaddzazdzaz iiCl 2ReRe11 2020 ????????????? ????dzazl? ?1例 1 計算回路積分 根據復連通區(qū)域上的科希定理，有 令 ，則 根據科希定理 l a解： （ 1）回路 不包圍 的情況 （ 2）回路 l a包圍 的情況 30 ? ? dzazl n? ? ? ?1n ??例 2 計算回路積分 31 167。 21 ( )()2 ( )Lff z diz? ???? ? ??()fz?? ??)()3( zf?? ?? dzfinzf L nn ? ??? 1)( )( )(2 !)(43 2 1 ( )2 ( )Lf diz? ???????32 1 ( )2 ( )Lf diz? ??????推論二 模數原理 f(z)在閉區(qū)域解析，則 |f(z)|在邊界上取最大值 35 模數原理的證明 ? ? ? ?12 nnlff z diz? ???????????? ??? ?? ?12nnlff z dz???????????????設 在邊界上的極大值為 ， 的極小值為 ，邊界 的長為 ，則 ? ?f ? M z??? l s? ?? ?1 1 12 2 2nnnnllf MMf z d d sz???? ? ? ? ? ?????? ? ????????? ?12nsf z M?????????令 n ?? ? ?f z M?36 推論三 劉維爾定理 全平面上有界的解析函數必為常數。 42 4．絕對收斂的判別 比值檢驗法 根值檢驗法 11l i m 11nnn??????????? ??收 斂不 確 定發(fā) 散11l i m 11nnn????????? ??收 斂不 確 定發(fā) 散夾擠（逼）定理 43 5．函數項級數 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 31nnw z w z w z w z??? ? ? ? ?一致收斂 44 ? ? ? ? ? ? 20 0 1 0 2 00nnna z z a a z z a z z??? ? ? ? ? ? ??1li m nnnaRa?? ??167。替換函數在原定義域上與替換前的函數相等。 洛朗級數展開 一、負冪級數 ? ? ? ? ? ?0 1 2 0200 011 kkkf z a a a a z zzz zz? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?1lim kk kaR a???? ?? 0z z R??收 斂 域 ：二、雙邊冪級數 ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 0 1 0 2 0 020011 kkka a a a z z a z z a z zzzzz???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?12 li mkk kaR a???? ?? 2 0 1R z z R? ? ?收 斂 域 ：11lim kk kaRa?? ??50 ? ?zf 102 RZZR ???? ? ? ? ? ? ? ? nnnnnnnnn zzazzazzazf 00010 ?????? ?????????????? ?? ? 1012 Rn nCfadi z? ?? ? ??? ??其 中 ：三、羅朗級數展開定理 若 在 內解析，則對該區(qū)域上任一點，函數可展開為 ? 洛朗展開具有唯一性； ? 級數在環(huán)內解析，且收斂于 ； ? 是級數的奇點，但不一定是 的奇點； ? 展開系