[理學]復(fù)變函數(shù)第五章-wenkub
2022-12-23 00:49:59 本頁面
【正文】 znzze)0( ??? z含有無窮多個 z的負冪項 特點 : 在本性奇點的鄰域內(nèi) )(lim0zfzz? 不存在且不 為 .?為本性奇點，所以 0?z 同時 zz e10lim?不存在 . 綜上所述 : 孤立奇點 可去奇點 m級極點 本性奇點 洛朗級數(shù)特點 )(lim0zfzz??存在且為 有限值 不存在 且不為 ?無負冪項 含無窮多個負冪項 含有限個負冪項 10 )( ?? zzmzz ?? )( 0關(guān)于 的最高冪 為 二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系 不恒等于零的解析函數(shù) )(zf 如果 能表示成 ),()()( 0 zzzzf m ??? )(z? 0z其中 在 ,0)( 0 ?z?解析且 m為某一正整數(shù) , 那末 0z 稱為 )(zf 的 m 級零點 . 例 6 的一級零點，是函數(shù) 3)1()(0 ??? zzzfz注意 : 不恒等于零的解析函數(shù)的零點是孤立的 . .)1()(1 3 的三級零點是函數(shù) ??? zzzfz 零點的充要條件是 證 (必要性 ) 由定義 : )()()( 0 zzzzf m ???設(shè) 0)( zz 在? 的泰勒展開式為 : ,)()()( 202022 ??????? zzczzccz?0z m0z如果 在 解析 , 那末 為 的 級 )(zf )(zfm0z如果 為 的 級零點 )(zf。 熟悉零點與極點的關(guān)系 . .)1(1)(33 的孤立奇點的類型確定函數(shù) ?? zezzf思考題 ,60 級零點是分母的?z思考題答案 .6)( 級極點的也即是函數(shù) zf放映結(jié)束，按 Esc退出 . 第二節(jié) 留 數(shù) 一、留數(shù)的引入 二、利用留數(shù)求積分 三、在無窮遠點的留數(shù) 四、典型例題 五、小結(jié)與思考 一、留數(shù)的引入 01010 )()()( czzczzczf nn ???????? ???? ???C0z )(zf設(shè) 為 的一個孤立奇點 。1,2,1,0(,0)( 0)( ??? mnzf n ?并且 .0! )( 00)(?? cm zfm充分性證明略 . (1)由于 123)1( ??? zzf知 1?z 是 )(zf 的一級零點 . 課堂練習 0?z 是五級零點 , iz ?? 是二級零點 . 知 是 )(zf 的一級零點 . 0?z解 (2)由于 0c os)0( ??? zzf答案 例 7 求以下函數(shù)的零點及級數(shù) : ,1)( 3 ?? zzf(1) (2) .s i n)( zzf ?,03 ??,01 ??225 )1()( ?? zzzf 的零點及級數(shù) . 求 定理 如果 0z 是 )(zf 的 m 級極點 , 那末 0z 就是 )(1zf 的 m 級零點 . 反過來也成立 . 證 如果 0z 是 )(zf 的 m 級極點 , 則有 )()( 1)(0zgzzzf m?? )0)(( 0 ?zg當 時 , 0zz ? )(1)()(1 0 zgzzzf m?? )()( 0 zhzz m??)( 0zh .0)( 0 ?zh函數(shù) 在 0z 解析且 由于 ,0)(1lim0?? zfzz 只要令 ,0)(10?zf 那末 0z )(1zf 的 m 級零點 . 就是 反之如果 0z )(1zf 的 m 級零點 , 是 那末 ),()()(1 0 zzzzf m ???當 時 , 0zz ? ),()( 1)(0zzzzf m ??? )(1)( zz ?? ?解析且 0( 0 ?z?所以 0z 是 )(zf 的 m 級
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