【正文】 of plex ．Point sets and regions on the plex the concepts of point sets, regions。討論、思考題、作業(yè)：思考：（1）復(fù)數(shù)為什么不能比較大小？（2）復(fù)數(shù)可以用向量表示，則可以認(rèn)為與向量運算相同？ 作業(yè)：P7 Exercises 1(a)參考資料： HuaiXin, Zhang JiangHua, Chen ZhengLi, Ren Fang, An Introduction to Complex Analysis,Xi39。Grip the operations, representations and the triangle inequality of plex numbers。+h2=z2+h2。顯然，函數(shù)w1=w39。平面除去射線Imw39。)C(0)D(h)OD(h2)C(0)A(165。平面上正實軸的上沿，DC被映射成從0到h2的線段的上沿，CB被映射成這條線段的下沿，BA被映射成正實軸的下沿，于是z平面上已給區(qū)域yC(hi)C(h2)D(0)A(165。為此，用在上述區(qū)域內(nèi)的單葉解析函數(shù)w39。2i例在z平面的上半平面上，沿虛軸作一長h為的割線。211izizw===(ee)=sinz。作分式線性函數(shù)，=165。iw39。+1246。yyDDA(165。1,f(0)=0。z1248。z+1246。顯然w39。平面上除去負(fù)實軸（包括0）而得的區(qū)域。=w1把割線1163。平面上的上半平面保形映射成w平面上的單位圓|w|因此，我們得到eziw=+i例求作一個單葉函數(shù)，把擴(kuò)充z平面上單位圓的外部|z|1保形映射成擴(kuò)充w平面上去掉割線1163。1xOOi平面上Oz平面w39。z12w39。因此w39。w=w39。平面上的下半虛軸。yDABCxCB(1)OA(0)CD(1)A(0)B(1)OD(i)Cz平面w39。由于分式線性函數(shù)中的系數(shù)是實數(shù)，所以z平面上的實軸映射成w39。=z1把1及+1分別映射成w39。教學(xué)重點：線性變換的保形性、保圓性、保交比性、保對稱點性 教學(xué)難點：線性變換的保交比性、保對稱點性 教學(xué)方法：啟發(fā)式、討論式 教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合教材分析：由于線性變換的保形性、保圓性、保交比性和保對稱點性，它在處理邊界為圓弧或直線的區(qū)域的變換中，起著重要的作用。f(x)cosmxdx,0242。sF(bk)]當(dāng)f165。f(x)sin0mxdx=p[229。165。165。=2pi229。22i232。iz248。Resf(zi),(1)248。z=1246。z+z1zz1R(cosJ,sinJ)dJ=242。z01dn1n11)!dz[(zz0)f(z)],作為一個特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),當(dāng)f(z)為一階極點, P(z0)185。.(4)本性奇點: 設(shè)z0是f(z)的奇點當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有無窮多項負(fù)冪項,就稱z0是f(z)(z)不存在z174。k=0z,z1 )掌握孤立奇點的分類方法:(1)可去奇點:設(shè)z0是f(z)的奇點當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中沒有負(fù)冪項,就稱z0是f(z)(z)=a174。165。anan+1)，知道冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂，)掌握解析函數(shù)在單連通區(qū)域的Taylor 展開式: 165。llf(x)dxxzz),4)Cauchy公式(z)=(z)=242。l=0,(n185。lf(z)dzn=0,(2)對復(fù)連通區(qū)域(1)也可表示為:242。y182。u182。x182。v182。(4)指數(shù)。(6)開方。(2)加法。共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的共軛定義為：z=xiy；顯然z=z,Argz=Argz,這表明在復(fù)平面上,z與z兩點關(guān)于實軸是對稱的我們也容易驗證下列公式：(1),(z)=z,z1177。例設(shè)zz2是兩個復(fù)數(shù)，求證：|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2+2Re(z1z2)，例作出過復(fù)平面C上不同兩點a,b的直線及過不共線三點 a,b,c的圓的表示式。0）其中，a,b,c,d是實常數(shù)。|z1|+|z2|；（4）、|z1z2|179。238。x239。0)239。=arctan+p,當(dāng)x0,y179。p,當(dāng)x=0,y0。arctan,當(dāng)x0,y0。注意，當(dāng)z=0時輻角無異議。p的一個為主值，或稱之為z的主輻角。復(fù)數(shù)的模和輻角復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量，z(x,y)=x+iy。復(fù)平面：C也可以看成平面R，我們稱為復(fù)平面。如果Imz=0，則復(fù)數(shù)的四則運算定義為：(a1+ib1)177。復(fù)數(shù)z1=x1+iy1和z2=x2+iy2相等是指它們的實部與虛部分別相等。教學(xué)重點：復(fù)數(shù)的輻角 教學(xué)難點：輻角的計算 教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)教學(xué)手段：多媒體與板書相結(jié)合 教材分析：復(fù)變函數(shù)這門學(xué)科的一切討論都是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，它是學(xué)好本們課程的基礎(chǔ)。因此，復(fù)習(xí)、了解中學(xué)所學(xué)復(fù)數(shù)的知識，理解所補(bǔ)充的新理論，熟練掌握復(fù)數(shù)的運算并能靈活運用顯得尤為重要。z可以看成一個實數(shù)；如果Imz185。(a2+ib2)=(a1177。2作映射：C174。x2+y2向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：|z|=；向量與正實軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為：Argz=arctany+2pi（k206。于是，q=Argz=argz+2kp,(k=0,177。當(dāng)z185。239。239。0。y239。239。2復(fù)數(shù)的三角表示定義為：z=|z|(cosArgz+isinArgz)； 復(fù)數(shù)加法的幾何表示： 設(shè)zz2是兩個復(fù)數(shù)，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：yz2z1+z2z2z1xz1z20z2關(guān)于兩個復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：（1）、|z1+z2|163。||z1||z2||；（5）、|Rez|163。解：方程為azz+bz+bz+d=0，其中b=(b+ic)。解：直線：Imza=0； bazaca)=0 圓：Im(zbcb復(fù)數(shù)的乘冪與方根利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：ababczn=|z|n(cosnArgz+isinnArgz)=rn(cosnq+isinnq)從而有zn=z,當(dāng)r=1時,則得棣莫弗(DeMoivre)公式1，則 znn令zn=zn=|z|n[cos(nArgz)+isin(nArgz)]進(jìn)一步，有11z=n|z|[cos(Argz)+isin(Argz)]nn1n共有n個值。z2=z1177。(3)減法。(7) : nz1=nr1ei(j0+2pk)=nr1ei(j0+2pk)n,(k=0,1,2,Ln1)4)掌握復(fù)變函數(shù)的定義,)熟悉幾個常用的基本初等函數(shù)及性質(zhì):(1)多項式。(5))掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義, 因復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上跟實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣,)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件是:(1)函數(shù)f(z)的實部u 與虛部的偏導(dǎo)數(shù)存在,且連續(xù).182。v，,182。y(2)滿足 CR條件182。v=,=.182。x8)知道復(fù)變函數(shù)解析的定義,復(fù)變函數(shù)解析,)解析函數(shù)的性質(zhì):(1)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v的等值(勢)線互相正交.(2)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v均為調(diào)和函數(shù).(3)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實部u與虛部v 不是獨立的,可由己知解析函數(shù)的實部u(或v)求出解析函數(shù)f(z).具體求法有3種:。f(z)dz=229。1)一個重要的積分公式: (za)ndz=2pi,(n=1)242。(xlf(x)dx2, ,fnn!2pi242。f(z)=229。z0),其中akk=242。z0(2)m階極點: 設(shè)z0是f(z)的奇點當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開時,其洛朗展開式中有有限項負(fù)冪項,其負(fù)冪項的最高冪為m,就稱z0是f(z)(z)174。z0 留數(shù)定理1)掌握留數(shù)定理及其計算242。0,Q(z0)=0,Resf(z0)=) 39。R231。dz247。246。zi為f(z)在單單位圓的奇點230。?1))積分區(qū)域為[0,2π] 作變換z=eiθ,當(dāng)θ從變到2π時,積分條件: 1)積分區(qū)域為(∞,∞)2)f(z)在實軸有一價極點bk,且在上半平面除有限個奇點ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時,zf(z)→0 165。Resf(ak)+pi229。f(x)eimxdx,令F(z)=f(z)eimz積分條件: 1)積分區(qū)域為(∞,∞)2)f(z)在實軸有一價極點bk,且在上半平面除有限個奇點ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時,f(z)→0, 165。imxdx=2pi229。ResF(ak)+k=1165。(x)為偶函數(shù)時,242。f(x)cosmxdx0=pi[229。教學(xué)過程：實例：在解決某些實際問題以及數(shù)學(xué)理論問題時，我們往往要把有關(guān)解析函數(shù)的定義域保形映射成較簡單的區(qū)域，以便進(jìn)行研究及計算，我們下面給出幾個實例。平面上的0及165。平面上的實軸；又由于z=0映射成w39。平面w平面i+1顯然圓|z|=1映射成w39。根據(jù)在保形映射下區(qū)域及其邊界之間的對應(yīng)關(guān)系，已給半圓盤映射到w39。2，當(dāng)w39。平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。=ez，把z平面上的已給帶形保形映射成w39。平面w平面關(guān)于實軸的對稱點i及i，那么函數(shù)w39。Rew163。Rew163。Ow39。=z2，把擴(kuò)充z平面上單位圓的外部|z|1保形映射成把z平面上的這一部分保形映射成w39。=231。由此可得函數(shù) w=(z+)2z即為所求函數(shù)。解：把坐標(biāo)系按反時針方向旋轉(zhuǎn)一個直角，并且應(yīng)用指數(shù)函數(shù)做映射，我們求得函數(shù)w39。)CB(1)C(0)ABCxODBxw1平面OA(1)AB(0)C(1)z平面w39。w1=231。1248。,1,0映射成w=1,0,+1：w1+1w=，w11最后得到所求的單葉函數(shù)：(iw39。22(iw39。求作一個單葉函數(shù)，把上述半平面去掉割線而得的區(qū)域保形映射成w平面上的上半平面。=z2，把z平面的第一及第二象限分別映射成w39。)B(0)ABDA(165。)w平面A(165。=0,Rew39。+h2，把w39。第四篇：復(fù)變函數(shù)教案(雙語)復(fù)變函數(shù)論課程教學(xué)實施方案章節(jié)、名稱：第一章，第3節(jié)，I Complex number field, Sums and products, Operation, Modulus and arguments 課時安排：2 教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：重溫熟悉復(fù)數(shù)的概念，熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運算及共軛運算，了解復(fù)平面，理解復(fù)數(shù)的幾何表示及其應(yīng)用。3．Complex plane, moduli and arguments of plex numbers。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第一章，第6節(jié)，I Complex number field, Conjugate, Exponential form, Regions in plex plane 課時安排：2 教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：掌握復(fù)數(shù)的共軛、乘冪與方根的運算，了解復(fù)平面中的區(qū)域概念。授課實施方案：啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。教學(xué)內(nèi)容及重點、難點：回顧總結(jié)上一節(jié)知識要點，解答思考題。Understand the definitions of limits, continuity of functions with plex variables。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第二章，第5節(jié)，II Analytic functions, Derivatives, Analytic functions 課時安排：2教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：熟悉導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的定義，掌握解析函數(shù)的判定，掌握柯西黎曼條件。2．CauchyRiemann equations(CR conditions)。an:Shaanxi Normal University Press, ., Functions of one Comp1ex Variable,SpringerVerlag, New York Inc., 1978 JiaRong, Theory of plex variable functions, Beijing: Advanced Education Press, 、名稱：第三章，第2節(jié)，III Elementary functions, Exponential functions, Logarithm 課時安排：2 教學(xué)方式：理論講授 教學(xué)目的和要求：掌握基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義，理解基本初等函數(shù)的性質(zhì)。Logz=ln|z|+iArgz授課實施方案：啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。教學(xué)內(nèi)容及重點、難點：回顧總結(jié)上一節(jié)知識要點，解答思考題。啟發(fā)式教學(xué)法，以講授為主，講練結(jié)合。了解復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)和變上限積分函數(shù)。Grip the definitions, basic properties and calculation methods of the integrals of functions following a finite of smooth curves in plex plane。Cf(z)dz=F(z2)F(z1).授課實施方案：啟發(fā)式教學(xué)法