解線性方程組的解法-wenkub
2023-05-21 14:25:55 本頁面
【正文】 ????????? ?? ??183562233231)4(4)5()4()1(xxxxx)7()4()6(????????????? ??65333231)7(31)6(21xxxxx???????????? ?? ??619321)9()4()9()8(xxx)9()4()8(顯然原方程組與最后的方程組（叫階梯形方程組） 同解，所以原方程組有唯一解 6,1,9 321 ????? xxx8 由此不難發(fā)現(xiàn)，在求解線性方程組的過程中，可 以對方程組反復(fù)施行以下三種變換： 1. 交換兩個方程的位置； 2. 用一個非零數(shù)乘某個方程的兩邊； 3. 把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上 . 稱它們?yōu)榫€性方程組的初等變換 . 顯然：線性方程組的初等變換不改變線性方程組 的同解性 . 在例 1的求解過程中，我們只對方程組的系數(shù)和 常數(shù)項進行了運算，對線性方程組施行一次初等變 換，就相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一次相應(yīng)的初等行 變換，用方程組的初等變換化簡線性方程組就相當(dāng)于 用矩陣的初等行變換化簡它的增廣矩陣 . 下面我們將 例 1的求解過程寫成矩陣形式： 9 ??????????????? ???????????? ?? ??21405110131245246202131213122 rrrrA????????????? ???????????????? ?? ??610051103101183005110620231232131214rrrrrr?????????????? ?? ??6100101090013231rrrr所以原方程組有唯一解 6,1,9 321 ????? xxx T)6,1,9( ???x即 10 一般地，不妨設(shè)線性方程組（ ）的增廣矩陣可通 過適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q化為階梯形矩陣 ??????????????????????????? ??????000000000000000001000100011122121111????????????????????????rrrnrrnrnrddccdccdccA因而由初等行變換不改變矩陣的秩可知：線性方程 組（ ）的系數(shù)矩陣 與增廣矩陣 的秩分別為 A A11 rr ?)( A?????????.0,10,)(11時當(dāng)時，當(dāng)rrdrdrr A與 由線性方程組的初等變換不改變線性方程組的 同解性可知：線性方程組（ ）與階梯形方程組 ?????????????????????????????1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrddxcxcxdxcxcxdxcxcx?????（ ） 同解，且其解有三種情形： 情形 1，當(dāng) ，即 時，方程組（ ）無解 . 情形 2，當(dāng) ，即 時， 方程組（ ）有唯一解 01 ??rd)()( AA rr ?nrd r ??? ,01 nrrr ??? )()( AATnddd ),( 21 ??x12 情形 3，當(dāng) ，即 時， 方程組（ ）可變成 nrd r ??? ,01 nrrr ??? )()( AA???????????????
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