20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-高等數(shù)學(xué)ch7-wenkub
2022-09-15 10:08:10 本頁(yè)面
【正文】 aa收斂 , (D) ???1 2n na和 ??? ?1 12n na都收斂 . 解 . 因?yàn)???? ?1 )1(n nna 條件收斂 , 所以 0lim ??? nn a . 對(duì)于 (C), ?? ?? ????nk nkkn aaaas 1 111 )( 所以111 )(limlim aaas nnnn ??? ?????. (C)是答案 . 5. 設(shè)級(jí)數(shù) ???1n nu收斂 , 則必定收斂的級(jí)數(shù)為 (A) ??? ?1 )1(nnn nu (B) ???12n nu (C) ??? ? ?1 212 )(n nn uu (D) ??? ??1 1)(n nn uu 解 . ???1n nu收斂 , 所以 ??? ?1 1n nu收斂 . 收斂級(jí)數(shù)的和收斂 . 所以 (D)是答案 . 對(duì)于 (C)有以下反例 : ?? ????? ?? 1111)1(nnn n nu, ?? ???? ? ?? 11 12 121nn n nu, ?? ???? ?? 11 2 21nn n nu. 所以 ?? ???? ? ?? 11 212 1)( nn nn nuu 發(fā)散 . 6. 若 ??? ?1 )1(nnn xa 在 2??x 處收斂 , 則此級(jí)數(shù)在 1??x 處 (A) 條件收斂 , (B) 絕對(duì)收斂 , (C) 發(fā)散 , (D) 收斂性不確定 . 解 . 因?yàn)樵?2??x 收斂 , 所以收斂半徑大于 2. 冪級(jí)數(shù)在收斂半徑內(nèi)的任何點(diǎn)都絕對(duì)收斂 . (B)是答案 . 7. 設(shè)冪級(jí)數(shù) ???1nnnxa 的收斂半徑為 3, 則冪級(jí)數(shù) ?????11)1(nnn xna 的必定收斂的區(qū)間為 (A) (－ 2, 4) (B) [－ 2, 4] (C) (－ 3, 3) (D) (－ 4, 2) 3 解 . ??????????39。 第二個(gè)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域21|| ?x. 所以公共收斂區(qū)域?yàn)?121()211( ， ??? . 5. ??? ??129)1(n nnnx 解 . 19 |1|9 |1|lim22 ??????? xnxn nnn. 當(dāng) 31 ???x 時(shí)得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ???11n n, 發(fā)散 . 該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)?(－ 2, 4). 6. ????1)5(nnnx 解 . 1|5||5|1lim ?????? xxnnnn. 當(dāng) 15 ???x 時(shí) , 得 ????1)1(nnn收斂 , 當(dāng) 15??x 時(shí) , 得 ???11n n發(fā)散斂 . 該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)?[4, 6). 六 . 求下列級(jí)數(shù)的和 : 1. ??? ???0 )73)(43)(13(1n nnn 解 . ???? ?????? ????????? nknk kkkkkk 11 73143 213 1181)73)(43)(13( 1 = ?????? ??????????????? 73 143 213 113110271101724171421181 nnn? =24173 143 1411181 ??????? ????? nn. 所以 241)73)(43)(13( 10 ???????n nnn 2. ??? ?1 )(1n mnn 10 解 . ?????? ???? mnnmmnn 111)( 1. 令 n充分大 , ??n ??? ???????? ?????? ?????? nknnknn mkkmmkkmnn 111 11l i m1)( 1l i m)( 1 = ?????? ?????????? ?????????? mmmnnmm n 121111111211l i m1 ??? 3. ????? ??1121 12)1(nnn nx 解 . 1||12 ||lim 212 ?????? xnxn nn級(jí)數(shù)收斂 , 所以收斂半徑為 1. 當(dāng) 1??x 時(shí)都得到交錯(cuò)級(jí)數(shù) . 由萊布尼茲判別法知收斂 . 所以收斂區(qū)域?yàn)?[－ 1, 1].令 ?)(xs ????? ??1121 12)1(nnn nx . ?)(39。2139。1 11 1 2212 1212 )1(2 )1( =xx ???? 1 2ln)1ln(2ln, [－ 3, 1). 6. ?? ?? ????? ??1 1111 2 )1(2 )1(n nnnn nnxnn 并求 解 . 2||,12 ||||2 )1(l i m 11 ???? ???? xxxnnn nnn. 當(dāng) 2??x 時(shí)得到的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散 , 所以收斂區(qū)域?yàn)?(－ 2, 2). 339。1139。 當(dāng) 21?x 時(shí)得 ??? ??0 ]212)1[(n nn , 發(fā)散 . 所以 )(xf =???? ??01 ]12)1[(nnnn x, )21,21(? 3. 22 1)1l n ()( xxxxxf ????? 解 . )1l n(11)1l n()(39。 ??? ff ， . 將上式由 0到 x積分二次 , 得 ??? ??? ????? 1 222 )12(!)!22( !)!12()1(21)( n nn xnn nxxf , 即 ??? ??? ?????? 1 222 )12(!)!22( !)!12()1(21)( n nn xnn nxxf 當(dāng) 1??x 時(shí) , 考察數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? ???1 )12(!)!22(!)!12(
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