20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-高等數(shù)學(xué)ch7-在線(xiàn)瀏覽
2024-11-07 10:08本頁(yè)面
【正文】 4. 設(shè) ??? ?1 )1(n nna 條件收斂 , 則 2 (A) ???1n na收斂 , (B) ???1n na發(fā)散 , (C) ??? ??1 1)(n nn aa收斂 , (D) ???1 2n na和 ??? ?1 12n na都收斂 . 解 . 因?yàn)???? ?1 )1(n nna 條件收斂 , 所以 0lim ??? nn a . 對(duì)于 (C), ?? ?? ????nk nkkn aaaas 1 111 )( 所以111 )(limlim aaas nnnn ??? ?????. (C)是答案 . 5. 設(shè)級(jí)數(shù) ???1n nu收斂 , 則必定收斂的級(jí)數(shù)為 (A) ??? ?1 )1(nnn nu (B) ???12n nu (C) ??? ? ?1 212 )(n nn uu (D) ??? ??1 1)(n nn uu 解 . ???1n nu收斂 , 所以 ??? ?1 1n nu收斂 . 收斂級(jí)數(shù)的和收斂 . 所以 (D)是答案 . 對(duì)于 (C)有以下反例 : ?? ????? ?? 1111)1(nnn n nu, ?? ???? ? ?? 11 12 121nn n nu, ?? ???? ?? 11 2 21nn n nu. 所以 ?? ???? ? ?? 11 212 1)( nn nn nuu 發(fā)散 . 6. 若 ??? ?1 )1(nnn xa 在 2??x 處收斂 , 則此級(jí)數(shù)在 1??x 處 (A) 條件收斂 , (B) 絕對(duì)收斂 , (C) 發(fā)散 , (D) 收斂性不確定 . 解 . 因?yàn)樵?2??x 收斂 , 所以收斂半徑大于 2. 冪級(jí)數(shù)在收斂半徑內(nèi)的任何點(diǎn)都絕對(duì)收斂 . (B)是答案 . 7. 設(shè)冪級(jí)數(shù) ???1nnnxa 的收斂半徑為 3, 則冪級(jí)數(shù) ?????11)1(nnn xna 的必定收斂的區(qū)間為 (A) (－ 2, 4) (B) [－ 2, 4] (C) (－ 3, 3) (D) (－ 4, 2) 3 解 . ??????????39。1nnnxa ???? ?11nnnxna ????112nnnxnax 和 ???1nnnxa 有相同收斂半徑 . 所以 3|1| ??x , 42 ??? x 在 (－ 2, 4)中級(jí)數(shù)一定收斂 , 在端點(diǎn)級(jí)數(shù)不一定收斂 . 所以答案為 (A). 二 . 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 : 1. ??? ?11sin)2ln( 1n nn 解 . 因?yàn)?1ln11sin)2ln (1lim ????nnnnn, 所以 ??? ?11sin)2ln( 1n nn和 ???1 ln1n nn有相同的斂散性 . 又因?yàn)?? ??2 ln1 dxxx發(fā)散 , 由積分判別法知 ???1 ln1n nn發(fā)散 . 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 2. )0()1)()(1( 11 ????????? anananan 解 . 因?yàn)? 11 )1)()(1(1l i m3????????nnananan, 所以 )0()1)()(1( 11 ????????? anananan和???1 31n n 有相同的斂散性 . ???1 31n n 收斂 , 所以原級(jí)數(shù)收斂 . 3. ???1!3n nnnn 解 . 13!3 )1()!1(3l i ml i m111 ???????????? ennnnuunnnnnnnn, 所以級(jí)數(shù)發(fā)散 . 4 4. ??? ?12 )/1(n nnnn 解 . 10/1 )(l i m)/1(l i m22 ????? ???? nn nnn nnnn nn, 所以級(jí)數(shù)收斂 . 5. ???12)!2( )!(n nn 解 . 141)12)(22()1(l i m)!2(!!)!22()!1()!1(l i ml i m21 ????????????????? nnnnnnnnnuunnnnn， 所以級(jí)數(shù)收斂 . 6. ??? ??1 !)!22(!)!12(n nn 解 . 拉阿伯判別法 : ?????? )1(lim 1nnn uun設(shè) , 發(fā)散收斂， 11 ?? ?? . 23123l i m1!)!42(!)!12(!)!22(!)!12(l i m)1(l i m1????????????????????????????? nnnnnnnuunnnnnn 1, 所以級(jí)數(shù)收斂 . 7. ??? ???1 )11(!1n nnn 解 . 10)2)(1(11l i m)11(!1)2()!1( 1l i ml i m 1 ????? ??????????? ??????? nnn nnnnnnnnuunnnnn, 級(jí)數(shù)收斂 . 8. ??? ????1 2 121)1ln2(n nnnnn 解 . 121)1ln2(l i m)1ln2(l i m21222121 ??????? ?????
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