【正文】 ,x t t??0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x??? ????? ?F00( ) d ( ) .i t i tixe f x e x e F?? ? ????? ??????利用 和 , 易見 (5) 時移性質(zhì) 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則00[ ( ) ] ( )itf t t e F? ????F (其中 t 0為常數(shù) ). 證明 由 Fo urier 變換的定義 , 00[ ( ) ] ( ) d .itf t t f t t e t??? ???? ? ??F令 代入上式得 0 ,x t t??0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x??? ????? ?F00( ) d ( ) .i t i tixe f x e x e F?? ? ????? ??????(3) 相似性質(zhì) 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1[ ( ) ] f at Faa ???? ????F (其中 為常數(shù) ). 0a? 1[ ( ) ] , biaf a t b e Faa? ?? ????????F其中 a, b為常數(shù) , 并且 事實上， ?[ ( ) ] bf at b f a t a??????? ? ?????????????FF1[ ( ) ] .bbiiaae f a t e Faa?? ??? ????????F例 計算 20() .tte ??????F于是根據(jù) 得 (5) 時移性質(zhì) 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則00[ ( ) ] ( )itf t t e F? ????F (其中 t 0為常數(shù) ). 證明 由 Fo urier 變換的定義 , 00[ ( ) ] ( ) d .itf t t f t t e t??? ???? ? ??F令 代入上式得 0 ,x t t??0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x??? ????? ?F00( ) d ( ) .i t i tixe f x e x e F?? ? ????? ??????22 00 ) 4 .itttee ??? ?????? ???（F(6) 頻移性質(zhì) 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 (其中 ?0為常數(shù) ). 0 0( ) ( )itf t e F? ????? ???F證明 由 Fourier變換的定義 , 00( ) ( ) di t i t itf t e f t e e t?? ????? ????? ??? ?F0() 0( ) d ( ) .itf t e t F?? ???? ??????由 知 , 解 運行下面的 MATLAB語句 . symst w t_0 f=exp((tt_0)^2)。 p=E*gE*h。)。symsbeta positive f=exp(beta*abs(t))。Heaviside(t)39。 Fourier變換的概念與性質(zhì) 3 d函數(shù)的 Fourier變換 Fourier變換的定義 Fourier積分定理 設 f (x)在 滿足下列 ( , )?? ??條件 : (1) f (x)在任何有限區(qū)間上滿足展開為 Fourier 級數(shù)的條件 , 即只存在有限個第一類間斷點和有限 個極值點； (2) f (x)在 上絕對可積 , 即 ( , )?? ?? ( ) df x x?????收斂 . 則在 f (x)的連續(xù)點處 1( ) d ( ) d ,2i x i tf x e f t e t?????? ?? ??? ??? ??而在 f (x)的間斷點處 ( 0 ) ( 0 ) 1 d ( ) d .22i x i tf x f x e f t e t?????? ?? ??? ??? ? ? ? ??定義 設 f (t)和 F(?)都是在 上絕對 ( , )?? ??可積函數(shù)，稱 ( ) ditf t e t??? ????為 f (t)的 Fourier變換 ，稱 1 ( ) d2itFe ?????????為 F(?)的 Fourier逆變換 , 記為 和 [ ( )]ftF 1 [ ( ) ] ,F ??F[ ( ) ] ( ) d ,itf t f t e t??? ???? ?F 1 1[ ( ) ] ( ) d .2itF F e ?? ? ???????? ?F如果 f (t)滿足 Fourier積分定理條件 , 那么在 f (t) 的連續(xù)點處成立 Fourier變換的反演公式 ? ?1( ) [ ( ) ] .f t f t?= F F例 設 求 22( ) ( 0 ) ,bxf x e b???[ ( )].fxF2222 2[ ( ) ] d dixbxb x i x bf x e x e x??????? ? ? ? ???? ??? ? ? ?????F2 2 2222442 2 4 4 diib x xb b bex? ? ???? ? ? ????? ????? ?22222 24 x i bbe e x?? ????? ????????? ?根據(jù)定義，有 解 運行下面的 MATLAB語句 . symsx w。symsb positive f=exp(b^2*x^2)。)。F=fourier(f)F =2*beta/(beta^2+w^2)[ ( ) ] dt itf t e e t? ??? ? ???? ?F00ddt i t t i te e t e e t? ? ? ???? ? ???????222 .???? ?因為 f (t)在 上連續(xù) , 且只有一個極大值 ( , )?? ??點 t=0, 而 02d 2 dt te t e t? ??? ? ? ?? ???????存在 , 所以根據(jù) Fourier變換的反演公式 12 2 2 22 1 2( ) d2itf t e ??? ?? ? ? ? ???????????? ???? ?F221 ( c os si n ) dt i t? ? ? ?? ? ??????? ??2202 c o s d,t?? ?? ? ??????于是 220c os d ( ) .22tt f t e ?? ? ??? ? ? ??? ?????在無線電技術(shù)、聲學、振動理論中 , Fourier 變換和頻譜概念有密切聯(lián)系 . 時間變量的函數(shù) f (t) 的 Fourier變換 F(?)稱為 f (t)的 頻譜函數(shù) , 頻譜函數(shù) 的模 稱為振幅頻譜 (簡稱為 頻譜 ). ()F ?例 求矩形脈沖函數(shù) (E0) , 2()0, t2Etpt???????? ?? ???的頻譜 . o t 2?2??E ()pt?. . . 解 運行下面的 MATLAB語句 . symst w E。 h=sym(39。F=fourier(p)F =E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w)E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w) r=simple(F) r =2*E*sin(1/2*tau*w)/w由頻譜函數(shù)的定義 ( ) ( ) ditF p t e t??? ?? ???? ?22d,itE e t?? ?? ??? ?? |F(?)| O E? 2?? 4?? 6??2 ???4 ???6 ???222( ) sin .2itEe EFi??????????? ? ?故頻譜為 1( ) 2 sin .2FE?????(如圖所示 ) Fourier變換的性質(zhì) 以下假定所討論的函數(shù)滿足 Fourier積分定理 的條件 . (1) 線性性質(zhì) 設 a, ? 是常數(shù)， 11( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F22( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F Fa ? a ? ? ?? ? ?F12[ ( ) ] [ ( ) ] .f t f ta???FF1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] .F F F Fa ? ? ? a ? ? ?? ? ?? ? ?F F F(2) 對稱性質(zhì) 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F證明 由 Fourier逆變換有 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ????? ?于是 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ?? ????? ?將 t與 ?互換 , 則 1( ) ( ) d ,2itf F t e t????? ????? ?所以 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F特別地 , 若 f (t)是偶函數(shù) , 則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f???F2[ ( ) ] s in .2pt?????F例 求 的頻譜函數(shù) . sin() tft t?f (t) t o 函數(shù) 的頻譜函數(shù)為 ()pt?當 ? =2時 , 根據(jù) Fourier 變換的線性性質(zhì) 由 知 , 單位幅度 (即 E=1) 的矩形脈沖 解 運行下面的 MATLAB語句 . symstf=sin(t)/t。F=fourier(f)F =exp(t_0^2)*pi^(1/2)*exp(i*t_0*w)*exp(t_0^21/4*w^2) r=simple(F) r =pi^(1/2)*exp(i*t_0*w1/4*w^2)22 4 .tee?? ???? ???F例 222 2 4 ( 0 ) .bx be e bb ?? ???? ????F例 計算 和 2 0c o stet??????F 2 0sin .tet??????F根據(jù) 解 運行下面的 MATLAB語句 . symst w a % 輸入 a代替 w_0,否則發(fā)生混淆 ,出現(xiàn)錯誤 f=exp(t^2)*cos(a*t)。)。Heaviside(t)39。symsbeta positive g=sym(39。F=fourier(f)F =1/(beta+i*w)1[ ( ) ] .gti??? ?F所以 [ ( ) ] [ ( ) ]f t tg t?FF211 .()iii? ? ? ????????????(8) 積分性質(zhì) 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F并且 ( 0 ) 0 .F ?如果 則 ( ) ( ) d ,tg t f ????? ?1[ ( ) ] ( ) .g t Fi ???F證明 因為 并且 l i m ( ) l i m ( ) d 0,tttg t f ????? ? ? ? ? ????0l i m ( ) ( ) d ( ) d ( 0 ) 0,it g t f f e F?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???所以根據(jù) 可知 ( ) ( )g t f t? ?[ ( ) ] ( ) ditg t g t e t??? ???? ?F1 1 1( ) ( ) d ( ) .i t i tg t e