【正文】 第七章 Fourier變換 Fourier變換是一種對連續(xù)時(shí)間函數(shù)的 積分變換 ,通過特定形式的積分建立函數(shù)之 間的對應(yīng)關(guān)系 . 它既能簡化計(jì)算 (如解微分 方程或化卷積為乘積等 )，又具有明確的物 理意義 (從頻譜的角度來描述函數(shù)的特征 ), 因而在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用 .離散和快速 Fourier變換在計(jì)算機(jī)時(shí)代更是特別重要． 1 Fourier變換的定義 2 Fourier變換的性質(zhì) 167。 Fourier變換的概念與性質(zhì) 3 d函數(shù)的 Fourier變換 Fourier變換的定義 Fourier積分定理 設(shè) f (x)在 滿足下列 ( , )?? ??條件 : (1) f (x)在任何有限區(qū)間上滿足展開為 Fourier 級數(shù)的條件 , 即只存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限 個(gè)極值點(diǎn)； (2) f (x)在 上絕對可積 , 即 ( , )?? ?? ( ) df x x?????收斂 . 則在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)處 1( ) d ( ) d ,2i x i tf x e f t e t?????? ?? ??? ??? ??而在 f (x)的間斷點(diǎn)處 ( 0 ) ( 0 ) 1 d ( ) d .22i x i tf x f x e f t e t?????? ?? ??? ??? ? ? ? ??定義 設(shè) f (t)和 F(?)都是在 上絕對 ( , )?? ??可積函數(shù)，稱 ( ) ditf t e t??? ????為 f (t)的 Fourier變換 ，稱 1 ( ) d2itFe ?????????為 F(?)的 Fourier逆變換 , 記為 和 [ ( )]ftF 1 [ ( ) ] ,F ??F[ ( ) ] ( ) d ,itf t f t e t??? ???? ?F 1 1[ ( ) ] ( ) d .2itF F e ?? ? ???????? ?F如果 f (t)滿足 Fourier積分定理?xiàng)l件 , 那么在 f (t) 的連續(xù)點(diǎn)處成立 Fourier變換的反演公式 ? ?1( ) [ ( ) ] .f t f t?= F F例 設(shè) 求 22( ) ( 0 ) ,bxf x e b???[ ( )].fxF2222 2[ ( ) ] d dixbxb x i x bf x e x e x??????? ? ? ? ???? ??? ? ? ?????F2 2 2222442 2 4 4 diib x xb b bex? ? ???? ? ? ????? ????? ?22222 24 x i bbe e x?? ????? ????????? ?根據(jù)定義，有 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symsx w。symsb positive f=exp(b^2*x^2)。F=fourier(f)F = (pi/b^2)^(1/2)*exp(1/4*w^2/b^2) r=simple(F) % 化簡r =1/b*pi^(1/2)*exp(1/4*w^2/b^2)注 首先使用命令 syms來定義基本符號對象 , 否則O x f (x) 1 實(shí)軸 A B C D ?R R O 虛軸 22b?因?yàn)? 在全平面 22bze?處處解析 , 所以取圖中的 路徑 ABCDA時(shí)，根據(jù) 定理 ( Cau chy 積分定理 ) 設(shè) f ( z ) 是單連D C 說明 : 該定理的主要部分是Cau chy 于 1825 年建立的 , 它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ) .通區(qū)域 D 上的解析函數(shù)，則對 D 內(nèi)的任何可求長 Jo rdan 曲線 C , 都有 ( ) d 0 .C f z z ??2 2 2 2ddR b x b zR BCe x e z? ??? ???222222 d d 0 .b x iR bzbR D Ae x e z????? ???????? ? ???下面計(jì)算 22222222d lim d .b x i b x iRbbRRe x e x??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ????2 2 2 22 ()20ddb z b R iybBCe z e y?? ? ????2 2 22 ( 2 )20db R Riy yb ey?? ? ?? ?同理可證 22 d 0 ( ) .bzDA e z R? ? ? ? ??2 2 2 2220 d 0 .b R b ybe e y?????當(dāng) R?+?時(shí)， 因此 , 當(dāng) R?+?時(shí)， 222222lim d lim db x iRR bxbRRe x e x????? ?????????? ?? ? ?????2 2 21d d ,b x te x e tbb??? ?????? ??? ? ???于是 22 4[ ( ) ] .bf x eb?? ??FO ? F(?) b?例 求 , 0( ) ( 0 ) 0, t 0tetft???? ??????的 Fourier變換 . 0[ ( ) ] dt i tf t e e t???? ??? ?F()0i?????? ?????? t f (t) o 1 根據(jù) Fourier變換的定義 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w。symsbeta positive g=sym(39。Heaviside(t)39。)。 % 調(diào)用 Heaviside函數(shù) f=exp(beta*t)*g。F=fourier(f)F =1/(beta+i*w)例 求 的 Fourier變換， ( ) ( 0 )tf t e ? ????并證明 220c os d.2tt e ????? ? ??? ????t f (t) O 1 根據(jù) Fourier變換的定義 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst。symsbeta positive f=exp(beta*abs(t))。F=fourier(f)F =2*beta/(beta^2+w^2)[ ( ) ] dt itf t e e t? ??? ? ???? ?F00ddt i t t i te e t e e t? ? ? ???? ? ???????222 .???? ?因?yàn)?f (t)在 上連續(xù) , 且只有一個(gè)極大值 ( , )?? ??點(diǎn) t=0, 而 02d 2 dt te t e t? ??? ? ? ?? ???????存在 , 所以根據(jù) Fourier變換的反演公式 12 2 2 22 1 2( ) d2itf t e ??? ?? ? ? ? ???????????? ???? ?F221 ( c os si n ) dt i t? ? ? ?? ? ??????? ??2202 c o s d,t?? ?? ? ??????于是 220c os d ( ) .22tt f t e ?? ? ??? ? ? ??? ?????在無線電技術(shù)、聲學(xué)、振動(dòng)理論中 , Fourier 變換和頻譜概念有密切聯(lián)系 . 時(shí)間變量的函數(shù) f (t) 的 Fourier變換 F(?)稱為 f (t)的 頻譜函數(shù) , 頻譜函數(shù) 的模 稱為振幅頻譜 (簡稱為 頻譜 ). ()F ?例 求矩形脈沖函數(shù) (E0) , 2()0, t2Etpt???????? ?? ???的頻譜 . o t 2?2??E ()pt?. . . 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w E。symstaupositive g=sym(39。Heaviside(t+tau/2)39。)。 h=sym(39。Heaviside(ttau/2)39。)。 p=E*gE*h。F=fourier(p)F =E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w)E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w) r=simple(F) r =2*E*sin(1/2*tau*w)/w由頻譜函數(shù)的定義 ( ) ( ) ditF p t e t??? ?? ???? ?22d,itE e t?? ?? ??? ?? |F(?)| O E? 2?? 4?? 6??2 ???4 ???6 ???222( ) sin .2itEe EFi??????????? ? ?故頻譜為 1( ) 2 sin .2FE?????(如圖所示 ) Fourier變換的性質(zhì) 以下假定所討論的函數(shù)滿足 Fourier積分定理 的條件 . (1) 線性性質(zhì) 設(shè) a, ? 是常數(shù)， 11( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F22( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F Fa ? a ? ? ?? ? ?F12[ ( ) ] [ ( ) ] .f t f ta???FF1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] .F F F Fa ? ? ? a ? ? ?? ? ?? ? ?F F F(2) 對稱性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F證明 由 Fourier逆變換有 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ????? ?于是 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ?? ????? ?將 t與 ?互換 , 則 1( ) ( ) d ,2itf F t e t????? ????? ?所以 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F特別地 , 若 f (t)是偶函數(shù) , 則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f???F2[ ( ) ] s in .2pt?????F例 求 的頻譜函數(shù) . sin() tft t?f (t) t o 函數(shù) 的頻譜函數(shù)為 ()pt?當(dāng) ? =2時(shí) , 根據(jù) Fourier 變換的線性性質(zhì) 由 知 , 單位幅度 (即 E=1) 的矩形脈沖 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symstf=sin(t)/t。F=fourier(f)F =1/2*pi*(Heaviside(w+1)Heaviside(w1))1/2*pi*(Heaviside(w1)Heaviside(w+1)) r=simple(F) r =pi*Heaviside(w1)+pi*Heaviside(w+1)例 求矩形脈沖函數(shù) (E0) , 2() 0, t2Etpt???? ??? ?? ???的頻譜 . 2( ) si n .2EF ??? ??1( ) 2 sin .2FE ??? ??解21 sin( ) ,2 pt???? ?????F其中 是寬度為 2, 幅度為的 矩形脈沖函數(shù) , 21 ()2 pt 12它是偶函數(shù) . 由 Fourier變換的 , (2) 對稱性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則[ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F證明 由 Fo urier 逆變換有 1( ) ( ) d