【正文】 桿的熱傳導(dǎo)方程的初值 問(wèn)題 22 0, , 0,uu xttx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???( , 0 ) ( ) , ,u x f x x? ? ? ? ? ??解 設(shè) 對(duì) ( , ) [ ( , ) ] , ( ) [ ( ) ] .U t u x t F f x????FF方程和初值條件兩端取 Fourier變換得 , 2 0 , ( , 0 ) ( ) .tU U U F? ? ?? ? ?求解這個(gè)一階常微分方程初值問(wèn)題得 2( , ) ( ) ( 0 ) .tU t F e t??? ???由 可知 于是由 例 222 2 4 ( 0 ) .bx be e bb ?? ???? ????F221 41 ,2xt teet??????? ???FFourier變換的 得到熱傳導(dǎo)方程初值問(wèn)題 (9) 卷積性質(zhì) 設(shè) 1 1 2 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,F f t F f t????FF則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .f f t F F????F證明 由卷積和 Four ier 變換的定義 , 可得1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ditf f t f f t e t??? ???? ? ??F 12( ) ( ) d ditf x f t x x e t?? ? ? ? ?? ? ? ??????????? 12( ) ( ) d ditf x f t x e t x?? ? ? ? ?? ? ? ???????1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) di x i xf x F e x F f x e x????? ? ? ???? ? ? ???12( ) ( ).FF???的解為 221 41( , ) ( ) ( )2xt tu x t F e f x et????????? ? ???F2()41 ( ) d ( 0 ) .2xtf e tt??????? ??????例 求解無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的初值問(wèn)題 22222 0, , 0, 0,uu a x t atx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???( , 0 ) ( ) , ,u x f x x? ? ? ? ? ??( , 0 ) 0 , ,ux xt? ? ? ? ? ? ? ??其中 時(shí) , x ?? 0 , 0 .uu x????解 設(shè) 對(duì) ( , ) [ ( , ) ] , ( ) [ ( ) ] .U t u x t F f x????FF方程和初值條件兩端取 Fourier變換 , 22 0 , ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) 0 .t t tU a U U F U? ? ? ?? ? ? ?求解這個(gè)二階常微分方程初值問(wèn)題得 11( , ) ( ) + ( ) .22i a t i a tU t F e F e??? ? ? ??再求 Fourier逆變換 , 1( , ) ( , ) d2ixu x t U t e ????????? ?1 1 1 1( ) d ( ) d2 2 2 2i a t i x i a t i xF e e F e e? ? ? ?? ? ? ????? ?? ??? ??????( ) ( )1 1 1 1( ) d ( ) d .2 2 2 2i x a t i x a tF e F e??? ? ? ??? ?????? ??根據(jù) Fourier逆變換的定義， ()1 ( ) d ( ) ,2i x a tF e f x a t?????? ??? ???()1 ( ) d ( ) .2i x a tF e f x a t?????? ??? ???所以無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的初值問(wèn)題解為 ? ?1( , ) ( ) ( ) .2u x t f x a t f x a t? ? ? ?這表明振動(dòng)的波形是左行波和右行波的迭加 , 實(shí)際上它是 D’Alembert公式的一個(gè)特殊情形 . 求解數(shù)學(xué)物理方程 離散 Fourier變換 本章主要內(nèi)容 線性性質(zhì) 對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 相似性質(zhì) 翻轉(zhuǎn)性質(zhì) 時(shí)移性質(zhì) 頻移性質(zhì) 時(shí)域微分 頻域微分 積分性質(zhì) 卷積性質(zhì) Fourier變換 d 函數(shù)的 Fourier變換 基本性質(zhì) 時(shí)移性質(zhì) 頻移性質(zhì) 微分性質(zhì) 快速 Fourier變換 反演公式 本章的重點(diǎn) 3. Fourier變換在解偏微分方程中的應(yīng)用 2. 離散 Fourier變換 1. Fourier 變換的定義及其性質(zhì) 第七章 完 Peter Gustav LejeuneDirichlet ( ) 德國(guó)數(shù)學(xué)家 . 柏林大學(xué)的教授 , 創(chuàng)始人之一 , 先后給出了 n=5和 n=14時(shí) , Fermat方 1855年 Guass去世后 , 哥廷根大學(xué) 聘任他接任 Guass的位置 . Dirichlet是解析數(shù)論的 程無(wú)整數(shù)解的證明 . 他在分析學(xué)和數(shù)學(xué)物理方面也 有很多重大貢獻(xiàn) . 1829年得到給定函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)收斂的充分條件 , 1837年證明了絕對(duì)收斂級(jí)數(shù) Jean le Rond D’Alembert () 法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家 , 被 一個(gè)貧窮家庭收養(yǎng)的棄嬰 . 他是 18世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家 , 在 很多領(lǐng)域取得了成就 , 特別在微分方程和力學(xué)等 方面的貢獻(xiàn)尤為突出 . 可以把它的項(xiàng)重新排列 , 而不改變?cè)?jí)數(shù)的和 , 并 舉例說(shuō)明了條件收斂級(jí)數(shù)沒(méi)有這樣的結(jié)論 . 引入 了 Laplace 方程的 Dirichlet 條件 . 。 WN=exp(i*2*pi/4)。g=sin(a*t)。symsbeta positive g=sym(39。F=fourier(p)F =E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w)E*exp(1/2*i*tau*w)*(pi*Dirac(w)i/w) r=simple(F) r =2*E*sin(1/2*tau*w)/w由頻譜函數(shù)的定義 ( ) ( ) ditF p t e t??? ?? ???? ?22d,itE e t?? ?? ??? ?? |F(?)| O E? 2?? 4?? 6??2 ???4 ???6 ???222( ) sin .2itEe EFi??????????? ? ?故頻譜為 1( ) 2 sin .2FE?????(如圖所示 ) Fourier變換的性質(zhì) 以下假定所討論的函數(shù)滿足 Fourier積分定理 的條件 . (1) 線性性質(zhì) 設(shè) a, ? 是常數(shù)， 11( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F22( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )f t f t F Fa ? a ? ? ?? ? ?F12[ ( ) ] [ ( ) ] .f t f ta???FF1 1 11 2 1 2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] .F F F Fa ? ? ? a ? ? ?? ? ?? ? ?F F F(2) 對(duì)稱(chēng)性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F證明 由 Fourier逆變換有 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ????? ?于是 1( ) ( ) d .2 itf t F e ???? ?? ????? ?將 t與 ?互換 , 則 1( ) ( ) d ,2itf F t e t????? ????? ?所以 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f????F特別地 , 若 f (t)是偶函數(shù) , 則 [ ( ) ] 2 ( ) .F t f???F2[ ( ) ] s in .2pt?????F例 求 的頻譜函數(shù) . sin() tft t?f (t) t o 函數(shù) 的頻譜函數(shù)為 ()pt?當(dāng) ? =2時(shí) , 根據(jù) Fourier 變換的線性性質(zhì) 由 知 , 單位幅度 (即 E=1) 的矩形脈沖 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symstf=sin(t)/t。symsb positive f=exp(b^2*x^2)。)。 g=sym(39。)。 NnknF k f n W k N??? ? ??( 0 )(1 )( 1 )FFFN?????????????0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 )( 1 )( 1 )NN N N NfW W W WfW W W WfNW W W W? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??????????? ???????離散 Fourier變換的矩陣形式 變換矩陣 ? )101( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .N nkkf n F k W n NN???? ? ??( 0 )(1 )( 1 )fffN?????????????0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 )( 1 )1( 1 )NN N N NFW W W WFW W W WNFNW W W W? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ??????????????離散 Fourier逆 變換的矩陣形式 逆變換矩陣 例 求序列 ( ) c o s ( 0 , 1 , 2 , 3 )2f n n n?????????的離散 Fourier變換 . 0 0 0 00 1 2 30 2 4 60 3 6 9( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 )( 3 ) ( 3 )FfW W W WW W W WFfW W W WW W W W??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???1 1 1 1 1 01 1 0 2.1 1 1 1 1 01 1 0 2iiii? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?由 N=4得 于是 2 ,iW e i??? ? ?解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symsn n=0:3。 Fk=J*WmkFk= + 快速 Fourier變換 快速 Fourier變換 (FFT)是 DFT的快速算法 , 其 運(yùn)算次數(shù)比按 DFT的定義直接計(jì)算顯著減少 . 考慮 DFT定義中變換矩陣 0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ),NN N N NW W W WW W W WW W W W? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???????矩陣中的元素 具有周期性 , 即 nkW( ) ( ) ,n k n k N n N kW W W????并且當(dāng) N為偶數(shù)時(shí) , 222 .NNki kkNW W e W???? ? ?下面設(shè)