【正文】 f t e t Fi i i?? ?? ? ???????????? ? ? ??(9) 卷積性質(zhì) 設(shè) 1 1 2 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,F f t F f t????FF則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .f f t F F????F證明 由卷積和 Fourier變換的定義 , 可得 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ditf f t f f t e t??? ???? ? ??F12( ) ( ) d ditf x f t x x e t?? ? ? ? ?? ? ? ???????????12( ) ( ) d ditf x f t x e t x?? ? ? ? ?? ? ? ?????????1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) di x i xf x F e x F f x e x????? ? ? ???? ? ? ???12( ) ( ) .FF??? d 函數(shù)的 Fourier變換 因?yàn)?d 函數(shù)是廣義函數(shù) , 所以其 Fourier變換不 是通常意義下的 Fourier 變換 . 根據(jù) Fourier 變換的 定義 , 以及 d 函數(shù)的性質(zhì) , 可 得 證 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symst w D=sym(39。Dirac(w)39。F=fourier(f)F =exp(i*t_0*w) g=sym(39。g=sin(a*t)。 F=fourier(f)F =pi*Dirac(aw)+pi*Dirac(a+w) r=simple(F) r =pi*(Dirac(aw)+Dirac(a+w))根據(jù) d 函數(shù) Fourier變換的 , 可得(1) d函數(shù) Fourier變換的時(shí)移和 頻移性質(zhì) 00[ ( )] [ ( )],itt t e t?dd???FF0 0[1 ] 2 ( ).ite ? ?d ? ????F 000 11[ c o s ] 22i t i tt e e??? ?? ? ? ???? ? ? ?F F F00( ) ( ) ,? d ? ? d ? ?? ? ? ?????0[ s in ] i t i tt e eii? ?? ? ? ???? ? ? ?F F F00( ) ( ) .i? d ? ? d ? ?? ? ? ?22 s in 3 [ 1 c o s 6 ] [ 1 ] [ c o s 6 ]t t t? ? ? ?F F F F? ?2 ( ) ( 6 ) ( 6 ) .? d ? d ? d ?? ? ? ? ?(2) d 函數(shù) Fourier變換的微分性質(zhì) () ( ) ( ) ,nntid??? ???F ()[ ] 2 ( ) ,n n nti ? d ??F其中 n為正整數(shù) . 證明 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 , 驗(yàn)證 n=4的情形 . symst w f=t^4。 F=fourier(f)F =2*pi*Dirac(4,w) G=fourier(g)G =w^4根據(jù) Fourier變換的定義 , 以及 d 函數(shù)的性質(zhì) , ( ) ( )( ) ( ) dn n i tt t e t?dd ?? ????? ??? ?F( 1 ) ( ) ( ) .n n nii??? ? ? ?又因?yàn)? 1 ( ) ( )12 ( ) 2 ( ) d2n n n n i ti i e ?? d ? ? d ? ????????? ??? ?F( 1 ) ( ) ,n n n ni it t? ? ?所以 ()[ ] 2 ( ) .n n nti ? d ??F167。 fn=cos(pi*n/2)。 WN=exp(i*2*pi/4)。 J=conv(f1,f2)。*k。 Fourier變換的應(yīng)用 前面已經(jīng)通過(guò)一些例子介紹了 Fourier 變換在 頻譜分析中的應(yīng)用 . 下面再給出一個(gè)討論在信息傳 輸中不失真問(wèn)題的例子 . 例 任何信息的傳輸 , 不論電話、電視或無(wú) 線電通信 , 一個(gè)基本問(wèn)題是要求不失真地傳輸信號(hào) , 所謂信號(hào)不失真是指輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比 , 只 是大小和出現(xiàn)時(shí)間不同，而沒(méi)有波形上的變化 . 設(shè)輸入信號(hào)為 f (t), 輸出信號(hào)為 g(t), 信號(hào)不失 真的條件就是 0( ) ( ) ,g t K f t t??其中 K為常數(shù)， t0是滯后時(shí)間 . 從頻率響應(yīng)來(lái)看 , 為 了使信號(hào)不失真 . 應(yīng)該對(duì)電路的傳輸函數(shù) H(?)提出 一定的條件 . 傳輸函數(shù) H(?) f (t) g(t) 設(shè) F(?)和 G(?)分別是輸入信號(hào) f (t)和輸出信號(hào) g(t)的 Fourier變換 . 傳輸函數(shù) H(?) G??) g(t) f (t) F(?) 由 Fourier變換的 可得 (5) 時(shí)移性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則00[ ( ) ] ( )itf t t e F? ????F (其中 t 0為常數(shù) ). 證明 由 Fo urier 變換的定義 , 00[ ( ) ] ( ) d .itf t t f t t e t??? ???? ? ??F令 代入上式得 0 ,x t t??0()0[ ( ) ] ( ) di x tf t t f x e x??? ????? ?F00( ) d ( ) .i t i tixe f x e x e F?? ? ????? ??????這說(shuō)明 , 如果要求信號(hào)通過(guò)線性電路時(shí)不產(chǎn)生任何失 真 , 在信號(hào)的全部通頻帶內(nèi)電路的頻率響應(yīng)必須具有 0( ) ( ) .itG K e F????? 0( ) .itH K e ?? ??故要求傳輸函數(shù) 恒定的幅度特性和線性的位相特性 . 最后介紹應(yīng)用 Fourier變換求解某些數(shù)學(xué)物理 方程 (偏微分方程 )的方法 . 在應(yīng)用 Fourier 變換求 解偏微分方程時(shí) , 首先將未知函數(shù)看做某個(gè)自變量 的一元函數(shù) , 對(duì)方程兩端取 Fourier變換 , 把偏微分 方程轉(zhuǎn)化成未知函數(shù)為像函數(shù)的常微分方程 , 再利 用所給的條件求常微分方程 , 得到像函數(shù)后 , 再求 Fourier逆變換 , 即得到偏微分方程的解 . 像原函數(shù) (偏微分方程的解 ) 像函數(shù) 偏微分方程 像函數(shù)的 常微分方程 Fourier逆變換 Fourier變換 解常微分方程 例 求解半平面 y0上膜平衡 Laplace方程 的 Dirichlet問(wèn)題 2222 0 , , 0 ,uu xyxy?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???( , 0 ) ( ) , ,u x f x x? ? ? ? ? ??其中 時(shí) , 0,u ?x ?? ? ??解 設(shè) 即 是 u(x, y) ( , ) [ ( , ) ] ,U y u x y? ? F( , )Uy?作為 x的一元函數(shù)的 Fourier變換 . 再設(shè) ( ) [ ( ) ] .F f x? ? F因?yàn)楫?dāng) 時(shí) , 所以根據(jù) x ?? 0 , 0 ,uu x????Fourier變換的 , 可知 (7) 微分性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F并且 在()()nft( , )?? ??上存在 (n 為正整數(shù) ). 如果當(dāng) 時(shí) , t ???() ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , , 1 ) ,kf t k n? ? ?則 () ( ) ( ) ( ) .nnf t i F???? ???F[ ( ) ] ( ) ditf t f t e t??? ?????? ?F ( ) ( ) di t i tf t e i f t e t??? ???????? ???? ?( ) d ( ) .iti f t e t i F?? ? ??? ??????只證明 n =1 的情形 , 類(lèi)推可得高階情形 .證明 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 , 驗(yàn)證 n=5的情形 . symst w y=sym(39。A B U? ? ???當(dāng) ? 0時(shí) , ( ) 0 , ( ) ( , 0 ) .B A U? ? ???于是 ||( , ) ( , 0) .yU y U e ??? ??對(duì)邊值條件 兩端取 Fourier變換 , ( , 0 ) ( )u x f x?( , 0 ) ( ) .UF???因此 再求 Fourier逆變 ||( , ) ( ) ( 0 ) .yU y F e y??? ???換得到所求的 Laplace方程 Dirichlet問(wèn)題的解為 1( , ) ( ) d2y ixu x y e F e? ?????? ???? ?1 ( ) d d2y i t i xe f t e t e? ?? ???? ??? ??? ????? ??????()1 ( ) d d2i x t yf t e t?? ???? ?? ???? ????? ??????22() d ( 0 ) .()y f t tyy x t??????????其中 時(shí) , x ?? 0 , 0 .uu x????例 求解沿?zé)o限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)方程的初值 問(wèn)題 22 0, , 0,uu xttx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???( , 0 ) ( ) , ,u x f x x? ? ? ? ? ??解 設(shè) 對(duì) ( , ) [ ( , ) ] , ( ) [ ( ) ] .U t u x t F f x????FF方程和初值條件兩端取 Fourier變換得 , 2 0 , ( , 0 ) ( ) .tU U U F? ? ?? ? ?求解這個(gè)一階常微分方程初值問(wèn)題得 2( , ) ( ) ( 0 ) .tU t F e t??? ???由 可知 于是由 例 222 2 4 ( 0 ) .bx be e bb ?? ???? ????F221 41 ,2xt teet??????? ???FFourier變換的 得到熱傳導(dǎo)方程初值問(wèn)題 (9) 卷積性質(zhì) 設(shè) 1 1 2 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,F f t F f t????FF則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .f f t F F????F證明 由卷積和 Four ier 變換的定義 , 可得1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ditf f t f f t e t??? ???? ? ??F 12( ) ( ) d ditf x f t x x e t?? ? ? ? ?? ? ? ??????????? 12( ) ( ) d ditf x f t x e t x?? ? ? ? ?? ? ? ???????1 2 2 1( ) ( ) d ( ) ( ) di x i xf x F e x F f x e x????? ? ? ???? ? ? ???12( ) ( ).FF???的解為 221 41( , ) ( ) ( )2xt tu x t F e f x et????????? ? ???F2()41 ( ) d ( 0 ) .2xtf e tt??????? ??????例 求解無(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的初值問(wèn)題 22222 0, , 0, 0,uu a x t atx?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???( , 0 ) ( ) , ,u x f x x? ? ? ? ? ??( , 0 ) 0 , ,ux xt? ? ? ? ? ? ? ??其中 時(shí) ,