【正文】 x ?? 0 , 0 .uu x????解 設 對 ( , ) [ ( , ) ] , ( ) [ ( ) ] .U t u x t F f x????FF方程和初值條件兩端取 Fourier變換 , 22 0 , ( , 0 ) ( ) , ( , 0 ) 0 .t t tU a U U F U? ? ? ?? ? ? ?求解這個二階常微分方程初值問題得 11( , ) ( ) + ( ) .22i a t i a tU t F e F e??? ? ? ??再求 Fourier逆變換 , 1( , ) ( , ) d2ixu x t U t e ????????? ?1 1 1 1( ) d ( ) d2 2 2 2i a t i x i a t i xF e e F e e? ? ? ?? ? ? ????? ?? ??? ??????( ) ( )1 1 1 1( ) d ( ) d .2 2 2 2i x a t i x a tF e F e??? ? ? ??? ?????? ??根據(jù) Fourier逆變換的定義， ()1 ( ) d ( ) ,2i x a tF e f x a t?????? ??? ???()1 ( ) d ( ) .2i x a tF e f x a t?????? ??? ???所以無限長弦自由振動的初值問題解為 ? ?1( , ) ( ) ( ) .2u x t f x a t f x a t? ? ? ?這表明振動的波形是左行波和右行波的迭加 , 實際上它是 D’Alembert公式的一個特殊情形 . 求解數(shù)學物理方程 離散 Fourier變換 本章主要內容 線性性質 對稱性質 相似性質 翻轉性質 時移性質 頻移性質 時域微分 頻域微分 積分性質 卷積性質 Fourier變換 d 函數(shù)的 Fourier變換 基本性質 時移性質 頻移性質 微分性質 快速 Fourier變換 反演公式 本章的重點 3. Fourier變換在解偏微分方程中的應用 2. 離散 Fourier變換 1. Fourier 變換的定義及其性質 第七章 完 Peter Gustav LejeuneDirichlet ( ) 德國數(shù)學家 . 柏林大學的教授 , 創(chuàng)始人之一 , 先后給出了 n=5和 n=14時 , Fermat方 1855年 Guass去世后 , 哥廷根大學 聘任他接任 Guass的位置 . Dirichlet是解析數(shù)論的 程無整數(shù)解的證明 . 他在分析學和數(shù)學物理方面也 有很多重大貢獻 . 1829年得到給定函數(shù)的 Fourier 級數(shù)收斂的充分條件 , 1837年證明了絕對收斂級數(shù) Jean le Rond D’Alembert () 法國數(shù)學家和物理學家 , 被 一個貧窮家庭收養(yǎng)的棄嬰 . 他是 18世紀的大數(shù)學家 , 在 很多領域取得了成就 , 特別在微分方程和力學等 方面的貢獻尤為突出 . 可以把它的項重新排列 , 而不改變原級數(shù)的和 , 并 舉例說明了條件收斂級數(shù)沒有這樣的結論 . 引入 了 Laplace 方程的 Dirichlet 條件 . 。)。 Wmk=WN.^mk。 k=m。 % 生成變換矩陣離散 Fourier變換具有如下一些基本性質 . (1) 線性性質 設 11( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 ) ,f n n N??22( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??分別是長度為 N1和 N2的有限序列 . 記 將 和 補零延拓 12m a x { , } ,N N N? 1()fn 2()fn為長度均為 N, 即當 時 , 11iN n N? ? ? ?? )( ) 0 1 , 2 .if n i??12 12( ) D FT [ ( ) ( ) ] ,ffF k f n f na? a?? ??11( ) D F T [ ( ) ] ,F k f n?則 12 12( ) ( ) ( )ffF k F k F ka? a?? ??如果 是常數(shù) , 并且 ,a?22( ) D F T [ ( ) ] ,F k f n?? )0 , 1 , 2 , , 1 .kN??線性性質可由離散 Fourier變換的定義直接證明 . (2) 卷積定理 設 和 1()fn 2 ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??是長度為 N 的有限序列 , 將序列 和 補零 1()fn 2()fn延拓為 的長度 2N1, 仍記 和 12( ) ( )f f n? 1()fn 2( ).fn如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1 , 2 ) ,iiF k f n i??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??? )0 , 1 , 2 , , 2 2 ,kN??則 ? )12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 2 2 .F k F k F k k N? ? ?證明 對 根據(jù)離散 Fourier變換 0 , 1 , 2 , , 2 2 ,kN??和有限序列卷積的定義 , 取 于是 221 ,i NWe ?? ??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??2 2 2 21200( ) ( )NNnknmf m f n m W??????????????2 2 2 2()1200 ( ) ( ) .NNm k n m kmnf m W f n m W???????由于 和 的實際長度為 N, 所以 1()fn 2()fn1 2 2()120 ( ) ( ) ( )NNm k n m km n mF k f m W f n m W?????????1 2 21200( ) ( )N N mm k kmf m W f W ???? ? ???? ??111200( ) ( )NNm k kmf m W f W ???????? ??2 2 2 21200( ) ( )NNm k kmf m W f W ???????? ??12( ) ( ) .F k F k?例 設 ? ?12 1( ) 1 , 0 , ( ) 1 , ( 0 , 1 ) .2f n f n n??? ? ?????求 ? )12( ) D F T [ ( ) ( ) ] 0 , 1 , 2 .F k f f n k? ? ?延拓為 和 容易求出 ? ?1 ( ) 1 , 0 , 0fn ? 21( ) 1 , , 0 .2fn??? ????123 1 1( ) { 1 , 1 , 1 } , ( ) , ( 3 3 ) , ( 3 3 ) .2 4 4F k F k i i??? ? ? ?????于是根據(jù) 可得 (2 ) 卷積定理 設 和1()fn 2 ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??是長度為 N 的有限序列 , 將序列 和 補零1()fn 2()fn延拓為 的長度 2 N 1, 仍記 和12( )( )f f n? 1()fn 2( ).fn如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1 , 2 ) ,iiF k f n i??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??? )0 , 1 , 2 , , 2 1 ,kN??則 ? )12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 2 1 .F k F k F k k N? ? ?? )3 1 1( ) , ( 3 3 ) , ( 3 3 ) 0 , 1 , 2 .2 4 4F k i i k??? ? ? ?????取 N=2, 將序列 和 按長度為 3補零 1()fn 2 ( )fn解 利用本例驗算離散 Fourier變換的卷積公式 .運行下面的 MATLAB語句 . f1=[1,0]。nk=n39。N i k m nNk eN?? ?? ?? 2 ()21() 2()011i N m nN Ni k m nN i m nk Neee????? ???????2 ()1 c o s( 2 ( ) ) sin ( 2 ( ) ) i m nNm n i m ne ????? ? ? ????所以根據(jù) 離散 Fourier變換和離散 Fourier逆變換的定義 , 對 0 ,1, 2 , , 1nN??記 則離散 Fourier變換及逆變換分別 2 ,iNWe???簡化為 ? )10( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 。Dirac(4,t)39。F=fourier(f)F =pi*Dirac(w6)+2*pi*Dirac(w)pi*Dirac(w+6)利用 , 可得 例 和 0[cos ]t?F 0[sin ].t?F解 運行下面的 MATLAB語句 . symst w a % 輸入 a代替 w_0,否則發(fā)生混淆 ,出現(xiàn)錯誤 f=cos(a*t)。)。Dirac(t+t_0)39。)。)。 f=t*exp(beta*t)*g。symsbeta positive。 F=fourier(f)F =1/2*pi^(1/2)*exp(1/2*a*w)*exp(1/4*a^21/4*w^2)+1/2*pi^(1/2)*exp(1/2*a*w)*exp(1/4*a^21/4*w^2)Euler 公式 c o s s in .iei? ????? ) ? )0 0 0 00011c o s , in22i t i t i t i tt e e s t e ei? ? ? ??? ??? ? ? ?于是由線性性質、 以及 知 , (6) 頻移性質 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則(其中 ? 0為常數(shù) ). 0 0( ) ( )itf t e F? ????? ???F證明 由 Fo urier 變換的定義 , 00( ) ( ) di t i t itf t e f t e e t?? ????? ????? ??? ?F0() 0( ) d ( ) .itf t e t F?? ???? ??????例 222 2 4 ( 0 ) .bx be e bb ?? ???? ????F 22002 ( ) ( ) 440c o s ,2te t e e? ? ? ?????????????? ??????F22002 ( ) ( ) 440sin .2te t e ei? ? ? ?????????????? ??????F(7) 微分性質 設 ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F并且 在 ()()nft( , )?? ??上存在 (n為正整數(shù) ). 如果當 時 , t ? ??() ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , , 1 ) ,kf t k n? ? ?則 () ( ) ( ) ( ) .nnf t i F???? ???F[ ( ) ] ( ) ditf t f t e t??? ?????? ?F( ) ( ) di t i tf t e i f t e t??? ???????? ???? ?