華中科技大學(xué)復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級(jí)數(shù)-wenkub
2023-05-23 10:04:22 本頁面
【正文】 zfz?? ? ?? ??其中 10120 1 2(),()( , , , ) ,n nCfcdizn???? ???? ? ? ? ? ??() 解析函數(shù)的洛朗展式 Cz0 | | ( ) ,( ( ) ) .na r Rf z H c? ? ?? ? ? ?C 并 且 展 式 是唯為 圓 周即 及 圓 環(huán) 唯 一 地 決 系 數(shù)一 定 了的167。 洛朗級(jí)數(shù) nnn zzc )( 00????nnn zzc???? ?? )( 0110 )( ??? zz?令 nnnc ?????1收斂半徑 011z z rR? ? ?收斂域 收斂半徑 R0z z R??收斂域 1若 ( ) :rR? 兩收斂域無公共部分 , 2( ) :rR?兩收斂域有公共部分 H: 0 .r z z R? ? ?R1 a z0 R r H f(z)=f1(z)+ f2(z) 1R? ?時(shí)，收斂 167。 洛朗級(jí)數(shù) 167。 解析函數(shù)的洛朗展式 雙邊冪級(jí)數(shù) 解析函數(shù)的洛朗展式 典型例題 167。 洛朗級(jí)數(shù) z0 2 2221 1 1 12 2 2nnnz z zz z z? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1012nnnnzz????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???內(nèi)收斂，在 111??????????zznn內(nèi)收斂，在 220??????????zznn12z??雙邊冪級(jí)數(shù)在圓環(huán)域 內(nèi)收斂 . 例如：雙邊冪級(jí)數(shù) 這時(shí) ,級(jí)數(shù) ()在 圓環(huán) H:r|zz0|R 收斂于和函數(shù) f(z)=f1(z)+ f2(z) 167。 洛朗級(jí)數(shù) [證 ] 設(shè) z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn) ,在圓環(huán)域內(nèi)作以 z0為中心的正向圓周 K1與 K2, K2的半徑 R大于K1的半徑 r, 且使 z在 K1與 K2之間 . z K1 ? K2 ? z0 由柯西積分公式得 211122( ) ( )()π πKKfff z d di z i z???????? ????02201, , .zzK z K z? ? ? ??在 上 在 里 面22010 01122( ) ( ) ()π π ()nnnKKffd d z zi z i z??????????????????????和泰勒展式一樣可以推得： 167。 洛朗級(jí)數(shù) 稱為函數(shù) f (z)在以 z0為中心的圓環(huán)域 : R1|zz0|R2內(nèi)的洛朗 (Laurent)展開式 , 它右端的級(jí)數(shù)稱為 f (z)在此圓環(huán)域內(nèi)的 洛朗級(jí)數(shù) . 一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正 ,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是 唯一 的 , 這個(gè)級(jí)數(shù)就是 f (z)的洛朗級(jí)數(shù) . 0 )( ()nnnc z zfz?? ? ?? ?? 其中 101 0 1 22() , ( , , , ) ,()n nCfc d niz? ??? ?? ? ? ? ? ? ???167。i??? ? ? ? ? ? ? ? ??1012n nCfzC d zi z z? ????? ? ??0 0 1 2nfzn , , ,n!?? ??? ? ? ?167。 3)在 2|zi|+?中的洛朗展開式 。 洛朗級(jí)數(shù) 將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù) 常用方法 : 1. 直接法 2. 間接法 1. 直接展開法 利用定理公式計(jì)算系數(shù) nc),2,1,0(d)( )(π2 1 10?????? ? ? nzficCnn ???然后寫出 .)()( 0 nnn zzczf ?? ?????缺點(diǎn) : 計(jì)算往往很麻煩 . 167。 洛朗級(jí)數(shù) 例 2 : )2)(1( 1)(
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