【正文】 ()fx? 0()fx ? 00( )( )f x x x? ? ? 2 20 0()()2!fx xx? + + 0 0()()!n nfx xxn ? ? ()nRx， 其中 ()nRx? 0(( ) )no x x? 。 定理 [1]洛必達(dá)法則 設(shè)函數(shù) ()fx與 ()Fx滿足下列條件 : (1) lim ( ) 0xafx? ? ， lim ( ) 0xaFx? ? ； (2) 在點(diǎn) a 的某去心鄰域內(nèi) ()fx? 與 ()Fx? 都存在且 ( ) 0Fx? ? ； (3) lim ( ( ) / ( ))xa f x F x? ??存在或?yàn)闊o窮大 ； 則 l i m ( ( ) / ( ) ) l i m ( ( ) / ( ) )x a x af x F x f x F x?? ???。39。39。 對(duì)于泰勒公式的應(yīng)用太少， 我們要研究的泰勒公式問題 ，不僅要熟練應(yīng)用泰勒公式計(jì)算極值 ，還要研究泰勒公式 在 更多方面的作用，如 當(dāng)“中間點(diǎn)”趨于零與無窮時(shí)? 滿足的條件 ,利用泰勒公式計(jì)算行列式，利用泰 勒公式證明函數(shù)凹凸性，以及研究泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，更進(jìn) 一步了解泰勒公式的 性質(zhì)。 鮑培文 [5]給出了泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的異同和典型應(yīng)用問題 。 convergence。 We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant， judging the convergence of series， determining the application of convex function bined with concrete example to explain。 最后討論了 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系 以及泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)在計(jì)算方面的應(yīng)用 。 畢業(yè) 論文 題 目 泰勒公式的若干問題研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 計(jì)算 0901 學(xué) 生 呂晗 學(xué) 號(hào) 20200921073 指導(dǎo)教師 徐美榮 二〇一 三 年 五 月 二 十 五 日 摘 要 本文 探討了泰勒 公式 的若干問題。 關(guān)鍵詞： 泰勒公式 ；斂散性；行列式 ； 漸 近 性 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 1 ABSTRACT In this paper， we discuss some problems of Taylor formula。 In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 011lim 1 1nm m n????? ? ? ?and 1( 1 )lim [ ]! (1 )x anx a n ??? ?? ?? ? ? ? ??? ? ?。determinant。 在一般的《數(shù)學(xué)分析》中，僅給出 了泰勒公式 的 證明以 及 在 計(jì)算極值問題 方面的應(yīng)用 ， 但在實(shí)際的生產(chǎn)和生活中， 我們經(jīng)常會(huì) 應(yīng)用泰勒公式來解決一些實(shí)際問題， 因此有必要對(duì)泰勒公式的若干問題進(jìn)行深入研究。 在本文的研究中主要用到以下基本概念和相關(guān)定理。39。39。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 5 2 泰勒公式 泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分逼近法的精髓，在微積分學(xué)及相關(guān)的領(lǐng)域的各個(gè)方面都有著 重要的應(yīng)用。 定義 [1] 帶有 Lagrange 型余項(xiàng)的泰勒公式 : 函數(shù) ()fx在含有 0x 的某個(gè)開區(qū)間 (, )ab 內(nèi)具有直到 1n? 階導(dǎo)數(shù)，則對(duì) ( , )x ab??有 ()fx? 0()fx ? 00( )( )f x x x? ? ? 2 200()()2!fx xx?? ? 00()()!n nfx xxn ? + ()nRx， 其中 ()nRx? ( 1) 10()()( 1)!n nf xxn ?? ??? 。 以上，我們給出了泰勒公式的幾種形式，下面我們從拉格朗日中值定理出發(fā)，給出不同于課本上的證明泰勒公式的方法。 則 0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x R x?? ? ? ?。 () 1K 如何確定呢 ? 對(duì) () 式兩邊 關(guān)于 x 求導(dǎo)，得 0 1 0( ) ( ) 2 ( )f x f x K x x??? ? ? 。 () 這樣 () 式變?yōu)? 20 0 0 0 0 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!f x f x f x x x f x x x R x? ??? ? ? ? ? ?。 () 3? 介于 0x 與 x 之間。這樣就自然 地得到 拉格朗日 泰勒公式。 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 9 3 泰勒公式 的應(yīng)用 第 2 部分我們給出了 泰勒公式 的幾個(gè)基本 形式及 泰 勒公式的 證明 ，在此 基礎(chǔ)上，我們 利 用泰勒公式來解決一些問題，這些問題 利用其他的方法往往比較困難，而 運(yùn)用泰勒公式 可以使問題變得簡單 。 例 求 n 階行列式 nD?x y y yz x y yz z x yz z z x。 () 由 ()得， 1( ) ( )kkf z z z y ???， k =1,2,… ,n 時(shí) 全 都成立 。若 zy? ， 有 ( ) ( )() nnn z x y y x zfx zy? ? ?? ?。在實(shí)際應(yīng)用中較困難是如何選取恰當(dāng)?shù)?1pn n???( 0p? 中的 p 值 )？例如 (1) 若 2p? ，此時(shí)211n n???收斂，但2lim1nn an????? ； 濟(jì)南大學(xué)畢業(yè) 論文 11 (2) 若 1p? ，此時(shí)11n n???收斂，但 lim1nn an??0? 。 解 : xa lnxae?? 2221 1 11 + ln ln ( )2x a a onn??， 1na??2221 1 1 11 + ln ln ( )2!a a on n n??， 1na? ?2221 1 1 11 ln ln ( )2!a a on n n? ? ?， 因此 11 22211( 2) l n ( )nnna a a a onn?? ? ? ? ?， 從而有0 221lim 1lnnaan?? ?， 0na? 是關(guān)于 (1n )的2 階 .即 111 ( 2)nnn aa?? ?? ???與211n n???同收斂。 解 : 22( 1 )(1 ) 1 ( )2!x x x o x? ??? ?? ? ? ? ?， 112233( ) 3 3 2 ( 1 ) ( 1 ) 2f x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 23 1 9 1 1 3 1 9 1 11 + ( ) 1 + ( ) 22 8 2 8x o