【正文】 第一篇：中學數(shù)學中變式教學的設計中學數(shù)學中變式教學的設計姓名：鄭麗朋江澤民主席指出:“創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不竭動力，一個民族缺乏獨創(chuàng)能力，就難以屹立于世界民族之林”。人才的培養(yǎng)，已成為民族振興的關鍵。學校教育是以課堂教學為主，教學過程既是學生在教師指導下的認知過程，也是學生自我獲得發(fā)展的過程，同時它還是培養(yǎng)學生創(chuàng)造力的過程。因此，教師如何通過課堂教學，滲透創(chuàng)新教育思想，激發(fā)學生的創(chuàng)造欲望，培養(yǎng)學生創(chuàng)造思維能力就成了教學的一個關鍵。數(shù)學正是一門培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力的基礎課，在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力，發(fā)展創(chuàng)造力是時代對我們教育提出的要求。為實現(xiàn)這個目標，必須在教學過程中，進行變式教學，讓學生從不同的角度，多方位，多層次，去觀察、去分析、探索。所謂變式教學，即教學中變換問題的條件和結論、變換問題的形式，而不換問題的本質，并使本質的東西更全面，使學生不迷戀于事物的表象，而能自覺地注意到從本質看問題。另一方面，在平時的教學中，教師過分強調程式化和模式化，例題教學中給學生歸納了各種類型，并要求按部就班地解題，不許越雷池一步，要求學生解答大量重要性練習題，減少了學生自己思考和探索的機會。這種灌輸式的教學使學生的思維缺乏應變能力，表現(xiàn)出思維僵化及思維的惰性，變式教學可使學生注意從事物之間的聯(lián)系和矛盾上來看問題，在一定程度上可克服和減少這一現(xiàn)象?，F(xiàn)從以下幾種方法闡述，本人在教學過程中如何利用變式教學，培養(yǎng)學生思維的靈活性。(一)一圖多變例：如圖，在以AB為直徑的半園內有一點P，AP、BP的延長線交半園于C、D，求證：AP?AC＋BP?BD為定值。分析：過P作PM⊥AB，P、D、A、M及P、C、M、B共圓 據(jù)割線定理知：AP?AC＝AM?AB，BP?BD＝BM?BA 兩式相加得：AP?AC＋BP?BD＝AM?AB＋BM?AB＝AB(AM＋MB)＝AB2(定值)變題1：當P點落在半園上，原結論是否成立？分析：由于AP與AC重合，BP與BD重合，故原結論成立。變題2：當P點落在半圓外，且夾在過A點，B點的切線內，原結論是否成立？分析：由C、M、B、P共圓知 AP?AC＝AM?AB??(1)由A、M、D、P共圓知 BP?BD＝BM?AB??(2)由(1)＋(2)得AP?AC＋BP?BD＝AB2(AM＋BM)＝AB2定值 變題3：如右圖，當P點落在半圓外，且在過A或B的半圓切線上，原結論是否成立？分析：如右圖，顯然有AB⊥BP、BC⊥AP易證AC?AP＝AB2。變題4：當P點落在半圓外，且在過點A點B的兩切線之外時，原結論是否成立？分析：這時BP的延長線在以AB為直徑的另一個半圓上連 結BC、AD且過P作PM⊥AB 由P、C、B、M及P、A、D、M兩個四點共圓，這時有 AP?AC＝AM?AB，BP?BD＝BA?BM ∴AP?AC＋BP?BD＝AM?AB＋BA?BM＝AB(AM＋BM)≠AB2不成立，但若把式子改為： AP?AC－BP?BD＝AM?AB－BA?BM＝AB(AM－BM)≠AB2，(定值仍為AB2)從本題的延伸過程中，使學生看到某些因素的不斷變化，從而產(chǎn)生一個個新的圖形，從這些圖形的演變過程中，學生可以找出他們之間的聯(lián)系與區(qū)別，特殊與一般的關系，從而可以使學生收到觸類旁通的效果，(二)一題多解一題多解，實質上是發(fā)散性思維，也是一種創(chuàng)造性思維，教師若能在授課中引導學生多角度、多途徑思考，縱橫聯(lián)想所學知識，以溝通不同部分的數(shù)學知識和方法，對提高學生思維能力和探索能力大有好處，防止學生的思維惰性。例：設a、b、c為△ABC的三條邊，求證：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)除教學參考書中介紹的一種證法外，我們可以引導學生用以下幾種方法。證法1：∵a、b、c為△ABC的三條邊 ∴a＜b＋c b＜a＋c c＜a＋b∴a2＋b2＋c2＜a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(b＋a)即a2＋b2＋c2＜2(a b＋b c＋c a)證法2：∵ a、b、c為△ABC的三條邊 ∴∣a－b∣＜c a2－2ab＋b2＜c2同理b2－2bc＋c2＜a2 c2－2ca＋a2＜b2 以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＜a2＋b2＋c2 即a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)證法3：據(jù)余弦定理：∴a2＋b2－c2＜2ab同理a2＋b2－c2＜2bc a2＋b2－c2＜2ca 以上三式相加得：a 2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)方法4：構造以a＋b＋c為邊長的正方形，在此大正方形內分別作邊長為a、b、c的小正方形各兩個(右圖中陰影部分)顯然大正方形面積大于６個小正方形的面積和 即(a＋b＋c)2＞2(a2＋b2＋c2)即∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＞2a2＋2b2＋2c2 ∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca)通過一題多解的訓練，不僅能開闊學生的視野，拓寬思路，而且可以加強了知識的縱向發(fā)展和橫向聯(lián)系，可以溝通代數(shù)、幾何、三角各個方面的知識，克服學生單向思維的定勢，使學生感受到數(shù)學美的存在，真正體驗到“題小天地大，勤思辦法多”的樂趣，從而培養(yǎng)了學生創(chuàng)新思維的能力。(三)一題多變 “變題” 即改變原來例題中的某些條件或結論，使之成為一個新例題．這種新例題是由原來例題改編而來的，稱之為“變題”． “變題”已經(jīng)成為中學數(shù)學教學中的熱點，每年的“高考”試題中都有一些“似曾相識題”，這種“似曾相識題”實際上就是“變題”例：已知雙曲線兩個焦點的坐標為F1(－5，0)F2(5，0)雙曲線上一點P到FF2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。解：因為雙曲線的焦點在X軸上，所以設它的標準方程為 b2x2－a2y2＝a2b2(a＞0，b＞0)∵a＝3，c＝5 ∴b2＝52－32＝16 所以所求的雙曲線的標準方程為16x2－9y2＝144 本題是在已知坐標系下，根據(jù)雙曲線的定義解決的，而雙曲線上任意一點，(頂點除外)與兩焦點連線均形成一個三角形，因而我們可將問題與三角形聯(lián)系起來，把題設條件作如下改變。變題1：在△ABC中，已知│BC│＝10且∣AB∣－∣AC∣的絕對值等于6，求頂點A的軌跡方程解:以BC所在直線為X軸,BC的中垂線為Y軸,建立直角坐標系 設A點坐標為(x,y)(y≠0),則││AB││AC││=6 a=3 c=5 則b2 =c2a2 =16 故所求的雙曲線方程為16x2 –9y2＝144(y≠0)在變題1的基礎上,再將題設條件與方程有關知識聯(lián)系起來,可以得到相應的變式如下： 變題2：在△ABC中,a=10,且方程x2 –(bc)x=9=0有兩個相等的實數(shù)根,求△ABC的頂點A的軌跡方程。變題3：在△ABC中,a=10, 且│Sin BSinC│=3/5SinA 求頂點A的軌跡方程上面幾種變式是將雙曲線的定義與三角形、二次方程的知識有機結合而形成的，如將其與平面幾何知識結合，則又有相應的變式：變題4 ：已知動圓P與定圓F1：x2 +y2+10x+16=0 F2：x2 +y210x56=0都內切，且圓F圓F2都在圓P內，求點P的軌跡方程。解：已知定圓F1：x2 +y2+10x+16=0 圓心F1(5,0),半徑 r1=3 定圓F2：x2 +y210x56=0 圓心F2(5,0),半徑 r2=9 則│F1 F2│=10 設動圓P與圓F則│PF1 ││PF2 │=(│PA││F1 A│)(│PB││F2 B│)= │F2 B││ F1 A│ =93 =6∴點P的軌跡是以F1 F2為焦點的雙曲線的右支 ∵2a=6,2c=10, b2 =c2a2 =16 ∴點P的軌跡方程為16x2 –9y2＝144(x≥3)將此題與2001年高考題第14題：雙曲線16x2 –9y2＝144的兩個焦點FF2點，點P在雙曲線上，若P F1⊥PF2則點P到X軸的距離為＿＿＿＿，進行組合可得一個綜合性問題：22變題5：已知雙曲線16x –9y＝144的右支上有一點P，F(xiàn)F2分別為左、右兩焦點，∠F1PF2＝θ，S△F1PF2＝S(1)若已知∣PF1∣∣PF2∣＝32試求θ(2)S＝16試求θ(3)設△F1PF2為鈍角三角形，求S的取值范圍由上述例題可見，一題多變，由淺而深，由易入難，學生們的課堂氣氛緊張而又活躍。在平時的教學中，可以說有較多的題型都可以創(chuàng)改，如條件的改變、結論的延伸、語言的變化等等。若能充分挖掘例、習題的潛在功能，定能提高學生綜合應用知識能力及解題的技巧和能力，培養(yǎng)學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性，減輕學生學習負擔。(四)多題一解：平時常碰到一些題目，表面上看相互各異，但實質上結構卻是相同，因而它們可用同一種方法去解答。讓學生訓練這樣的題組，可使他們不迷戀表面現(xiàn)象，而是透表求里，自覺地注意到從本質上看問題，必然導致思維向深刻性發(fā)展。題1：已知是等腰三角形BCD的底邊CD的延長線上一點，求證 ：ACAD＝AB2－BC2分析：在△ABC和△ABD中由余弦定理 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA BD2＝AB2＋AD2－2ABADcosA ∵BC＝BD ∴AC、AD是方程x2－(2ABcosA)＋AB2－BC2＝0的兩個根，據(jù)韋達定理知ACAD＝AB2－BC2題二：設P是正△ABC外接圓弧上任意一點求證：PB＋PC＝PA PBPC＝PA2－PB2 分析：∵∠BPA＝∠APC＝60186。 在△ABP和△APC中，由余弦定理知AB2＝PA2＋PB2－2PAPBcos60186。 AC2＝PA2＋PC2－2PAPCcos60186?！逜B＝AC∴知PB、PC是方程x2－PAx＋PA2－PB2＝0的兩根椐韋達定理PB＋PC＝PA PB－PC＝PA2－PB2 題三：設P為定角∠BAC的平分線上一點，過A、P兩點任作一圓交AB、AC于M、N，求證AM＋AN為定值證明：設∠PAM＝∠PAN＝a 在△AMP和△ANP中，由余弦定理 PM2＝AM2＋PA2－2AMPAcosa PN2＝AN2＋PA2－2ANPAcosa 由于PM＝PN 所以AM、AN是方程x2－(2PAcosa)x＋PA2－PM2＝0的兩根,由違達定理得: AM＋AN＝2PA?COSa(定值)以上三例是用同一種解法，從 實踐了從事物之間同與異矛盾的統(tǒng)一中認識事物的本質，因而培養(yǎng)了學生思維的深刻性。(五)一題多問在立體幾何的教學中，對正方體A B C D－A′B′C′D′提問題，可以有以下九個問題： ① Ａ到ＣＢ的距離。② Ｂ與平面AB′C間的距離。③ A′D到B′C的距離。④ A′B′與AC′間的距離。⑤ AB與平面A′CD之間的距離。⑥ AC與A′D所成角的大小。⑦ AB與平面AB′C所成角的大小。⑧ 截面A C C′A′與B D D′B′所成角的大小。⑨ 面AB′C與平面A′B′C所成角的大小。結果，引起學生熱烈的討論，課堂氣氛活躍。象這樣的變式訓練，符合學生的認識規(guī)律，既可以培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性，又提高了課堂教學效率，增大了課堂教學容量。教學實踐表明，利用以上方法，進行多變、多問、多解、多用相結合的教學方法，符合學生的認識規(guī)律，可以提高學生的學習熱情，激發(fā)學生的學習興趣，充分調動學生的學習積極性和主動性。變式訓練，避免學生死記硬背，培養(yǎng)舉一反三的能力，幫助學生走出題海戰(zhàn)術，減輕學生的負擔。更重要的是，長期的變式訓練，可以提高學生的數(shù)學思維品質，提高學生理解、探索和應用的能力，對學生今后獨立工作習