【正文】 第一篇：組合數(shù)學(xué)論文生活中的組合數(shù)學(xué)摘 要:組合數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)理論方面和生活應(yīng)用方面都發(fā)揮著越來越重要的作用, 組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究中具有極其重要的地位，在其他的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。如果說微積分和近代數(shù)學(xué)的發(fā)展為近代的工業(yè)革命奠定了基礎(chǔ)，那么組合數(shù)學(xué)的發(fā)展則是奠定了21世紀(jì)計(jì)算機(jī)革命的基礎(chǔ)。因此隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和其它許多新興應(yīng)用學(xué)科的發(fā)展,組合數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)理論方面和生活應(yīng)用方面都發(fā)揮著越來越重要的作用,:組合數(shù)學(xué)。鴿巢原理。數(shù)學(xué)游戲引言隨著計(jì)算機(jī)的普及推廣,、應(yīng)用廣泛的學(xué)科,同時(shí)它也是一門講究方法,計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算能力為尋求組合數(shù)學(xué)問題的巧妙解法提供了無限的可能,,希望借以簡單的闡述引起人們對組合數(shù)學(xué)的更深層次的理解,系統(tǒng)的查閱了相關(guān)文獻(xiàn)，并結(jié)合生活中涉及組合數(shù)學(xué)的相關(guān)知識進(jìn)行闡述,也使抽象的理論概念變得淺顯具體,更易被初學(xué)者理解和接受,伴隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的高速發(fā)展,近年來,組合數(shù)學(xué)已漸漸成為一門新興起來的邊緣性、, 《Introductory Combinatorics》一書中提到組合數(shù)學(xué)研究的是事物按照一定的規(guī)則安排,其中包括:對已知安排問題的研究，計(jì)數(shù)性問題,《Basic Techniques of Combinatorial Theory》中有如此描述: ,組合數(shù)學(xué)主要研究的就是事物安排中所涉及的有關(guān)數(shù)學(xué)問題[1].,計(jì)算一切可能的安排或配置的方法數(shù),:其一,它大量應(yīng)用了抽象代數(shù)學(xué)工具和矩陣工具促使問題的提法和處理方法表現(xiàn)出極大的普遍性。其二,為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,特別是由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的巨大發(fā)展,組合數(shù)學(xué)研究的主要是一些離散事物之間所存在的某些數(shù)學(xué)關(guān)系,包括計(jì)數(shù)性問題、存在性問題、最優(yōu)化問題以及構(gòu)造性問題等,就必須估計(jì)出算法所需的存儲單元和運(yùn)算量,即分析算法的空間復(fù)雜性和時(shí)間復(fù)雜性[2].綜上,組合數(shù)學(xué)主要研究:排列組合、遞推關(guān)系和生成函數(shù)、鴿巢原理和容斥原理、組合數(shù)學(xué)是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,其內(nèi)容零散,思想方法繁多,對于長期接受連續(xù)性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的我們來說,通常感到很難抓住其要領(lǐng),無從下手,如加乘法則,抽屜法則,母函數(shù)法,逐步淘汰法等等,了解這些方法有助于培養(yǎng)我們學(xué)生的組合思維。組合數(shù)學(xué)是十分貼近于人們的生活的，因此組合問題在生活中非常常見。例如，求n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每隊(duì)只和其他隊(duì)比賽一次的總比賽場數(shù)。例如，在紙上畫一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，用鉛筆沿著網(wǎng)絡(luò)的線路揍，在筆不離開紙面而且不重復(fù)線路的條件下，一筆畫出網(wǎng)絡(luò)圖。又例如這樣一個(gè)簡單的組合數(shù)學(xué)問題：一個(gè)船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。而當(dāng)人不在場時(shí)，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個(gè)，問人怎樣才能把三者都運(yùn)過河。下面介紹幾種組合數(shù)學(xué)中的著名問題。：對世界地圖著色，每一個(gè)國家使用一種顏色。如果要求相鄰國家的顏色相異，是否總共只需四種顏色？四色定理是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理。它指出，如果將平面分成一些鄰接的區(qū)域，那么可以用不多于四種顏色來給這些區(qū)域染色，使得每兩個(gè)鄰接區(qū)域染的顏色都不一樣。另一個(gè)通俗的說法是：每個(gè)（無飛地的）地圖都可以用不多于四種顏色來染色，而且沒有兩個(gè)鄰接的區(qū)域顏色相同。被稱為鄰接的兩個(gè)區(qū)域是指它們有一段公共的邊界，而不僅僅是一個(gè)公共的交點(diǎn)。例如右圖左下角的四色圓盤中，紅色部分和綠色部分是鄰接的區(qū)域，而黃色部分和紅色部分則不是臨界區(qū)域。盡管四色定理最初提出是和地圖染色工作有關(guān)，但四色定理本身對地圖著色工作并沒有特別的意義。據(jù)凱尼斯梅在一篇文章中所言：“（實(shí)際中）用四種顏色著色的地圖是不多見的，而且這些地圖往往最少只需要三種顏色來染色。制圖學(xué)和地圖制圖史相關(guān)的書籍也沒有四色定理的記載?！币恍┖唵蔚牡貓D只需要三種顏色就夠了，但有時(shí)候第四種顏色也是必須的。比如說當(dāng)一個(gè)區(qū)域被三個(gè)區(qū)域包圍，而這三個(gè)區(qū)域又兩兩相鄰時(shí)，就得用四種顏色才行了?！笆欠裰挥盟姆N顏色就能為所有地圖染色”的問題最早是由一位英國制圖員在1852年提出的，被稱為“四色問題”。人們發(fā)現(xiàn)，要證明寬松一點(diǎn)的“五定理”（即“只用五種顏色就能為所有地圖染色”）很容易，但四色問題卻出人意料地異常困難。曾經(jīng)有許多人發(fā)表了四色問題的證明或反例，但都被證實(shí)是錯誤的。1977年，數(shù)學(xué)家凱尼斯阿佩爾（英語：Kenneth Appl）和沃夫?qū)希ㄓ⒄Z：Wolfgang Haken）借助電子計(jì)算機(jī)首次得到了一個(gè)完全的證明，四色問題也終于成為了四色定理。這是首個(gè)主要由計(jì)算機(jī)證明的定理。這個(gè)證明一開始并不為許多數(shù)學(xué)家接受，因?yàn)椴簧偃苏J(rèn)為這個(gè)證明無法用人手直接驗(yàn)證。盡管隨著計(jì)算機(jī)的普及，數(shù)學(xué)界對計(jì)算機(jī)輔助證明更能接受，但仍有數(shù)學(xué)家對四色定理的證明存疑。船夫過河問題：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。只要船夫不在場，羊就會吃白菜、狼就會吃羊。船夫的船每次只能運(yùn)送一種東西。怎樣把所有東西都運(yùn)過河？這是線性規(guī)劃的問題。中國郵差問題：由中國組合數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出。郵遞員要穿過城市的每一條路至少一次，怎樣行走走過的路程最短？這不是一個(gè)NP完全問題，存在多項(xiàng)式復(fù)雜度算法：先求出度為奇數(shù)的點(diǎn)，用匹配算法算出這些點(diǎn)間的連接方式，然后再用歐拉路徑算法求解。河洛圖：我國古代的河洛圖上記載了三階幻方，即把從一到九這九個(gè)數(shù)按三行三列的隊(duì)行排列，使得每行，每列，以及兩條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都是一十五。組合數(shù)學(xué)中有許多象幻方這樣精巧的結(jié)構(gòu)。1977年美國旅行者1號、2號宇宙飛船就帶上了幻方以作為人類智慧的信號。裝箱問題：當(dāng)你裝一個(gè)箱子時(shí)，你會發(fā)現(xiàn)要使箱子盡可能裝滿不是一件很容易的事，你往往需要做些調(diào)整。從理論上講，裝箱問題是一個(gè)很難的組合數(shù)學(xué)問題，即使用計(jì)算機(jī)也是不容易解決的。是否存在穩(wěn)定婚姻的問題：假如能找到兩對夫婦（如張（男）李（女）和趙（男）王（女）），如果張（男）更喜歡王（女），而王（女）也更喜歡張（男），那么這樣就可能有潛在的不穩(wěn)定性。組合數(shù)學(xué)的方法可以找到一種婚姻的安排方法，使得沒有上述的不穩(wěn)定情況出現(xiàn)（當(dāng)然這只是理論上的結(jié)論）。這種組合數(shù)學(xué)的方法卻有 一個(gè)實(shí)際的用途：美國的醫(yī)院在確定錄取住院醫(yī)生時(shí)，他們將考慮申請者的志愿的先后次序，同時(shí)也給申請排序。按這樣的 次序考慮出的總的方案將沒有醫(yī)院和申請者兩者同時(shí)后悔的情況。實(shí)際上，高考學(xué)生的最后錄取方案也可以用這種方法。管理調(diào)度問題：我們還會遇到更復(fù)雜的調(diào)度和安排問題。例如，在生產(chǎn)原子彈的曼哈頓計(jì)劃中，涉及到很多工序，許多人員的安排，很多元件的生產(chǎn)，怎樣安排各種人員的工作，以及各種工序間的銜接，從而使整個(gè)工期的時(shí)間盡可能短？這些都是組合數(shù)學(xué)典型例子。又比如，假日飯店的管理中，也嚴(yán)格規(guī)定了有關(guān)的工序，如清潔工的第一步是換什么，清洗什么，第二步又做什么，總之，他進(jìn)出房間的次數(shù)應(yīng)該最少。既然，這樣一個(gè)簡單的工作都需要講究工序，那么一個(gè)復(fù)雜的工程就更不用說了。鋪地磚問題：我們知道，用形狀相同的方型磚塊可以把一個(gè)地面鋪滿（不考慮邊緣的情況），但是如果用不同形狀，而又非方型的磚塊來鋪一個(gè)地面，能否鋪滿呢？這不僅是一個(gè)與實(shí)際相關(guān)的問題，也涉及到很深的組合數(shù)學(xué)問題。組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析：組合數(shù)學(xué)還可用于金融分析，投資方案的確定，怎樣找出好的投資組合以降低投資風(fēng)險(xiǎn)。南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)研究中心開發(fā)出了“金沙股市風(fēng)險(xiǎn)分析系統(tǒng)”現(xiàn)已投放市場，為短線投資者提供了有效的風(fēng)險(xiǎn)防范工具?？傊?，組合數(shù)學(xué)無處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以組合數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。 乘法原則與加法原則的應(yīng)用舉例下面看看組合數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用.（以下假設(shè)A和B是兩類互不關(guān)聯(lián)、互不相同的事件.）組合數(shù)學(xué)問題在生活中非常常見。例如，求n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每隊(duì)只和其他隊(duì)比賽一次的總比賽場數(shù)。例如，在紙上畫一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，用鉛筆沿著網(wǎng)絡(luò)的線路揍，在筆不離開紙面而且不重復(fù)線路的條件下，一筆畫出網(wǎng)絡(luò)圖。又例如這樣一個(gè)簡單的組合數(shù)學(xué)問題：一個(gè)船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜運(yùn)過河。而當(dāng)人不在場時(shí)，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能運(yùn)其中的一個(gè)，問人怎樣才能把三者都運(yùn)過河。加法原則可定義為:設(shè)事件A有m種選擇方式,事件B有n種選擇方式,則選A或B共有m+,大于1小于9的的奇數(shù)有3個(gè),分別為3,5,7,9。大于1小于9的偶數(shù)有4個(gè),分別為2,4,6,即2,3,4,5,6,7,:設(shè)事件A有m種選取方式,事件B有n種選取方式,那么選取A以后再選取B共有m,從3個(gè)黑人、5個(gè)白人、9個(gè)黃種人中各選出1位的方式有3180。5180。9=+5+9= 某旅行社開辟了從北京去長白山和天山2條旅游線路,稱為北線；從北京去西湖、黃山、峨眉山3條旅游線路,？如某人選定了從北京去四川,先要在西安中轉(zhuǎn),北京到西安有3種航班可選,西安到四川又有2種航班可選,問共有多少種不同的航班配置方式？分析由所學(xué)的概率知識可知,互不相容事件AA2,則其和的概率等于各自概率之和,即P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)。同理,二個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2)=P(A1)P(A2).解由加法原理可知,該社共有的線路條數(shù)P1=2+3=,共有的航班配置方式P2=3180。2= Ramsey定理的應(yīng)用舉例首先是抽屜原理,大家也許早就聽說過這樣的智力問題“:從10雙鞋子中隨便拿幾只能保證有一雙相配的鞋?”:“把多于n個(gè)東西任意放進(jìn)n個(gè)抽屜,那么一定有一個(gè)抽屜放進(jìn)了不止一個(gè)東西”.因?yàn)?9世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷曾用這個(gè)原理證明過數(shù)學(xué)命題,所以把它叫做狄氏抽屜原理,:“若有n個(gè)鴿巢,而鴿子多余n只,若每只鴿子必須進(jìn)巢,則至少有一個(gè)鴿巢內(nèi)的鴿子多于一只.”一間屋內(nèi)有10個(gè)人,他們當(dāng)中沒有人超過60歲（年齡只以整數(shù)給出）:總能找出兩組人（兩組不含相同的人）,設(shè)Y={y1,y2,y10}為屋內(nèi)10個(gè)人的年齡構(gòu)成的集合,集合Y的所有k個(gè)121010k+C10++C10=21種,不同元素之和共有C10,則所有可能的不同元素之和有C10記這些和為S={s1,s2,s1023},由題設(shè)條件可知:1163。si163。60,i=1,2,由鴿巢原理原理可知S中至少有兩個(gè)元素是相同的,設(shè)為si=,則把這些相同的人去掉,:“證明在至少有6個(gè)人參加的集會上,與會者中或者有3個(gè)人以前互相認(rèn)識,或者有3個(gè)人以前彼此都不認(rèn)識.”因?yàn)?人集會中成員間的情況共有215=[7]先考慮6個(gè)人中的任意一個(gè)人,則這3個(gè)人或者彼此不相識,則由于這兩個(gè)人都與p相識,因此有3人彼此相識,如果S包含3個(gè)人,則這3個(gè)人或者彼此相識,則由于這兩個(gè)人都與p也不相識,因此有3個(gè)人彼此不相識, 線性規(guī)劃法的應(yīng)用實(shí)例線性規(guī)劃是最簡單,應(yīng)用最廣泛的一種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法,也是使用最早的一種 , 某電視機(jī)廠有100臺彩電的訂單要在三周內(nèi)交貨,在第一,第一和第三周生產(chǎn)x臺彩電的費(fèi)用分別是120x,假設(shè)xi(i=1,2,3)表示在第i周生產(chǎn)的彩電數(shù),fi(xi)表示第i周生產(chǎn)xi臺彩電的費(fèi)用,則此問題的數(shù)學(xué)模型為min y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)=120x1++，+x2+x3=100，xi179。0,i=1,2,(x)表示在前k周生產(chǎn)x臺彩電所得到的最小費(fèi)用,則由最優(yōu)原理可得出如下的遞歸方程F1(x)=f1(x)，F(xiàn)k(x)=min0163。xk163。x{fk(xk)+Fk1(xxk)},k0163。x163。100.=2,3, 原問題的解就是F.（100）3由上式可知F1(x)=f1(x)=120x，F(xiàn)2(x)=min0163。x2163。x{f2(x2)+F1(xx2)}, {f3(x3)+F(xx3)}.F3(x)=min0163。x3163。x解上面的遞歸方程,可得當(dāng)x1=10,x2=50,x3=40時(shí)有最小值F3(100)=,第二周生產(chǎn)50臺彩電,第三周生產(chǎn)40臺彩電, 游戲中的組合數(shù)學(xué) 18世紀(jì)初在東普魯土有這樣一個(gè)問題:某條河上有兩個(gè)島嶼,城市中的四部分可以由七個(gè)橋來連接起來．那么可否經(jīng)過每個(gè)橋并且每個(gè)橋只能走一次？（如圖1上圖所示）．圖1 在18世紀(jì)中期,歐拉成功論證了該問題,也即是合適的方案并沒有,不可能每座橋走過且僅走過一次．歐拉把該實(shí)際問題形象地簡化成同一平面上線與點(diǎn)的組合問題,將每一座橋看成一條線,從某一點(diǎn)出發(fā)再回到這一點(diǎn)的問題,可轉(zhuǎn)化成一個(gè)一筆畫的問題[8].歐拉采用概念映像法來解決該類問題,即用概念映像j將橋視為幾何線,將連接的地點(diǎn)視為幾何點(diǎn),則在j映像下可得到(S。x)→(Sn。xn).如此,．“三同六變”的問題中國的王文紊在其所著的《算學(xué)寶鑒》一書中詳細(xì)記載了一個(gè)名為“三同六變”的題目:“假令二十四老人,長者壽高一百,次者遞減一歲,止于七十七．共積總壽二千一百二十有四．卜(疑為‘赴’)會三社,八老相會,七百八歲,蓋因人情逸順,散而復(fù)會,共換六次,其積(即和)仍均七百有八,屯(疑為‘求’)見連用之道．”[8]它的意思也即是說:有24位老人,每8人一起,分三處赴會,每處年齡之和均為708歲,并且年齡從100歲到77歲,依次遞減1歲．那么如何分配,分配方法有多少種?在該書當(dāng)中共列出了6種解答,并且作了注釋,“其變尤多,不及備述”．對這個(gè)問題加以推廣,便可得到一類 “n同k聚”的問題:在自然數(shù)集合N內(nèi),任意選取nk(k=2,3,4, ?)個(gè)連續(xù)自然數(shù)作為集合M,將M任意劃分為n個(gè)互不相交子集M1,M2,M3,L,Mn,而每個(gè)子集均有k個(gè)元素,并且各個(gè)子集元素之和相等,求M1,M2,M3,L,Mn．這篇論文只是介紹了組合數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用的一小部分,希望借此論文可以激起我們對組合數(shù)學(xué)的關(guān)注,涉及生活中的各個(gè)領(lǐng)域, 作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，我們必須把組合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)放在一個(gè)重要的位置上來，掌握基本的組合數(shù)學(xué)原理，培養(yǎng)專業(yè)的數(shù)學(xué)思維，這樣才能在以后的工作學(xué)習(xí)中掌握主動和先機(jī)。才能在將來為中國的計(jì)算機(jī)軟件事業(yè)做出自己的貢獻(xiàn)。參考資料百度知道： 百度百科：://；://://://：第二篇：數(shù)學(xué)論文下載小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法綜述(8篇)第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生主體性的培養(yǎng)摘要：課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的主體性意識，對培養(yǎng)和提