相似三角形教案(已修改)
2024-10-29 06:48 本頁面
【正文】 第一篇：相似三角形教案相似三角形【基礎(chǔ)知識精講】1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關(guān)系．2．進一步體會數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認識特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心．【重點難點解析】相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．【典型熱點考題】例1 如圖421，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）圖421 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF點悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應(yīng)選D．例2 如圖422，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．圖422 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．例3 寫出下列各組相似三角形的對應(yīng)邊的比例式．(1)如圖423(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應(yīng)邊．(2)如圖423(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．圖423 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應(yīng)邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應(yīng)邊，可以參照確定全等三角形對應(yīng)邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應(yīng)的頂點出發(fā)．解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應(yīng)邊，它們所對的頂點E和C為對應(yīng)頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對AD=DEBC=EACA應(yīng)邊為DE和BC，EA和CA，得AB．(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應(yīng)頂點為D和C，三組對應(yīng)邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．AD=AEAB=DECB得AC．本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構(gòu)成的兩個相似三角形，它的對應(yīng)元素比較明顯，對應(yīng)邊，對應(yīng)角，對應(yīng)頂點有同樣的順序性，對應(yīng)邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖424)：圖424 第二類是相交線型．這一類型的對應(yīng)元素不十分明顯，對應(yīng)順序也不一致，對應(yīng)邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖425)．圖425 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型． 例4 如圖426，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：ABDF＝BCEF．圖426 點悟：如果我們把條件和結(jié)論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個完全由紅線構(gòu)成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F(xiàn)．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖427)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關(guān)的基本圖形都能找到兩對，根據(jù)每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內(nèi)的一個比例式．圖427AD=DFBHEF=CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH=ABDFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是=BC可得，及BH=BCEF，所以，有ABDFEF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有ABDF＝BCEF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．例5 如圖428，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．圖428 點悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩AG=DHHF個基本圖形中給出的比例式有一個公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．證明：∵ AD∥BC，AE=AGGFED=DHHF∴ BF，F(xiàn)C．∵ AE＝ED，BF＝FC，AG=DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．例6 如圖429，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．圖429 點悟：題設(shè)中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應(yīng)的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．設(shè)AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE=AFCFx=4x∴ BE，即15x，2∴ x+4x60=0解得，x1=10(舍)，x2=6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．例7 如圖430，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．圖430 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM=MC=12DC∴ ．BD∵ DCBD1=31，=61BD即2DC，MC=6+11=61．=71BD+MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．點撥：以上四例中，我們復(fù)習(xí)了線段成比例和平行線分線段成比例的有關(guān)知識．【易錯例題分析】例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD=2∴ QCBP，=3BC=4DQ∵ PC，∴
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